Чтобы решить задачу, давайте разберемся, что такое периметр и как он связан с треугольниками.
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.
В задании нам дан периметр треугольника, равный 64 см, и мы должны найти периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
Шаг 1: Понимание проблемы
Если у нас есть треугольник с вершинами (A), (B) и (C), то его стороны — это отрезки (AB), (BC) и (CA). Пусть длины этих сторон равны (a), (b) и (c):
[
P = a + b + c = 64 , \text{см}
]
Теперь, если мы построим новый треугольник (D), (E), (F) с вершинами в серединах сторон (AB), (BC) и (CA) соответственно, нужно знать, как изменяется периметр при таком преобразовании.
Шаг 2: Свойство треугольника
По теореме о серединных линиях в треугольниках, стороны нового треугольника (с вершинами в серединах сторон исходного треугольника) будут равны половине соответствующих сторон исходного треугольника.
То есть:
- Сторона (DE) будет равна ( \frac{1}{2}a)
- Сторона (EF) будет равна ( \frac{1}{2}b)
- Сторона (FD) будет равна ( \frac{1}{2}c)
Шаг 3: Расчет периметра нового треугольника
Итак, периметр нового треугольника (D), (E), (F) будет равен:
[
P_{DEF} = DE + EF + FD = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c = \frac{1}{2}(a + b + c)
]
Мы знаем, что (a + b + c = 64) см, следовательно:
[
P_{DEF} = \frac{1}{2}(64) = 32 , \text{см}
]
Ответ
Таким образом, периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен 32 см.
