Для решения задачи о бесконечно убывающей геометрической прогрессии, давайте обозначим первый член прогрессии как ( a ), а знаменатель прогрессии (коэффициент, на который умножается каждый член) как ( q ), где ( |q| < 1 ).
Дано:
Сумма первого и третьего членов равна 30:
[
a + aq^2 = 30
]
Сумма второго и четвертого членов равна 10:
[
aq + aq^3 = 10
]
1. Упрощаем уравнения:
Первое уравнение можно записать как:
[
a(1 + q^2) = 30 \quad (1)
]
Второе уравнение можно упростить так:
[
aq(1 + q^2) = 10 \quad (2)
]
2. Извлечем ( a ) из (1):
Из уравнения (1) выразим ( a ):
[
a = \frac{30}{1 + q^2}
]
3. Подставим ( a ) в (2):
Подставим выражение для ( a ) в (2):
[
\frac{30q(1 + q^2)}{1 + q^2} = 10
]
Сократим ( 1 + q^2 ) (помня, что ( 1 + q^2 \neq 0 )):
[
30q = 10
]
4. Найдем ( q ):
[
q = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}
]
5. Найдем ( a ):
Теперь подставим ( q ) обратно в уравнение для ( a ):
[
a = \frac{30}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{30}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{30}{\frac{10}{9}} = 30 \times \frac{9}{10} = 27
]
6. Определим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S = \frac{a}{1 - q}
]
Теперь подставим значения ( a ) и ( q ):
[
S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \times \frac{3}{2} = 40.5
]
Ответ: 40.5
Таким образом, значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии равно 40.5.
