Давайте обозначим ( y = x + 2 ). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
[
y^2 + 9y + 20 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Для нашего уравнения, ( a = 1 ), ( b = 9 ), ( c = 20 ):
[
D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1
]
Поскольку дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Мы можем найти их с помощью формулы:
[
y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения:
[
y_1, y_2 = \frac{-9 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm 1}{2}
]
Теперь вычислим оба корня:
[
y_1 = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4
]
[
y_2 = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5
]
Теперь у нас есть два значения для ( y ):
- ( y_1 = -4 )
- ( y_2 = -5 )
Не забываем, что мы делали замену ( y = x + 2 ), поэтому нужно вернуть каждое значение к ( x ):
Для ( y_1 = -4 ):
[
-4 = x + 2 \implies x = -4 - 2 = -6
]
Для ( y_2 = -5 ):
[
-5 = x + 2 \implies x = -5 - 2 = -7
]
Таким образом, окончательные решения уравнения:
[
x_1 = -6, \quad x_2 = -7
]
