7. В летний период в школе собираются сделать ремонт. Для этого нанимают бригаду рабочих в составе 15 человек, которая состоит из 9 строителей и 6 маляров. Из этой бригады надо…
7. В летний период в школе собираются сделать ремонт. Для этого нанимают бригаду рабочих в составе 15 человек, которая состоит из 9 строителей и 6 маляров. Из этой бригады надо выделить 5 строителей и 3 маляра на ремонт актового зала. Сколько способов существует, чтобы выполнить эту задачу?
Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать комбинации, поскольку мы выбираем подмножества из группы, не учитывая порядок.
Определим количество строителей и маляров в бригаде.
- Всего строителей: 9
- Всего маляров: 6
Определим, сколько мы должны выбрать.
- Строители, которых нужно выбрать: 5
- Маляры, которых нужно выбрать: 3
Используем формулу для сочетаний.
Формула для вычисления количества сочетаний выглядит так:\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где:
- \( n \) — общее количество элементов,
- \( k \) — количество выбираемых элементов,
- \( ! \) — факториал числа.
Вычислим количество способов выбора строителей. Мы можем выбрать 5 строителей из 9:
\[ C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} \]
Сначала найдем значение:
\[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \]
Тогда:
\[ C(9, 5) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
Сначала посчитаем числитель:
\[ 9 \times 8 = 72 \] \[ 72 \times 7 = 504 \] \[ 504 \times 6 = 3024 \]
Теперь посчитаем знаменатель:
\[ 4 \times 3 = 12 \] \[ 12 \times 2 = 24 \] \[ 24 \times 1 = 24 \]
Теперь делим:
\[ C(9, 5) = \frac{3024}{24} = 126 \]
Вычислим количество способов выбора маляров. Мы можем выбрать 3 маляра из 6:
\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} \]
Найдем значение:
\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3! \]
Тогда:
\[ C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \]
Сначала посчитаем числитель:
\[ 6 \times 5 = 30 \] \[ 30 \times 4 = 120 \]
Теперь посчитаем знаменатель:
\[ 3 \times 2 = 6 \] \[ 6 \times 1 = 6 \]
Теперь делим:
\[ C(6, 3) = \frac{120}{6} = 20 \]
Общее количество способов выбора. Поскольку выбор строителей и маляров независимые события, общее количество способов выбрать 5 строителей и 3 маляра будет равно произведению количеств способов:
\[ \text{Общее количество способов} = C(9, 5) \times C(6, 3) = 126 \times 20 = 2520 \]
Таким образом, существует 2520 способов выбрать 5 строителей и 3 маляра из бригады.
