7. В летний период в школе собираются сделать ремонт. Для этого нанимают бригаду рабочих в составе 15 человек, которая состоит из 9 строителей и 6 маляров. Из этой бригады надо выделить 5 строителей и 3 маляра на ремонт актового зала. Сколько способов существует, чтобы выполнить эту задачу?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать комбинации, поскольку мы выбираем подмножества из группы, не учитывая порядок. 1. **Определим количество строителей и маляров в бригаде.** - Всего строителей: 9 - Всего маляров: 6 2. **Определим, сколько мы должны выбрать.** - Строители, которых нужно выбрать: 5 - Маляры, которых нужно выбрать: 3 3. **Используем формулу для сочетаний.** Формула для вычисления количества сочетаний выглядит так: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где: - \( n \) — общее количество элементов, - \( k \) — количество выбираемых элементов, - \( ! \) — факториал числа. 4. **Вычислим количество способов выбора строителей.** Мы можем выбрать 5 строителей из 9: \[ C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} \] Сначала найдем значение: \[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \] Тогда: \[ C(9, 5) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \] Сначала посчитаем числитель: \[ 9 \times 8 = 72 \] \[ 72 \times 7 = 504 \] \[ 504 \times 6 = 3024 \] Теперь посчитаем знаменатель: \[ 4 \times 3 = 12 \] \[ 12 \times 2 = 24 \] \[ 24 \times 1 = 24 \] Теперь делим: \[ C(9, 5) = \frac{3024}{24} = 126 \] 5. **Вычислим количество способов выбора маляров.** Мы можем выбрать 3 маляра из 6: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} \] Найдем значение: \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3! \] Тогда: \[ C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \] Сначала посчитаем числитель: \[ 6 \times 5 = 30 \] \[ 30 \times 4 = 120 \] Теперь посчитаем знаменатель: \[ 3 \times 2 = 6 \] \[ 6 \times 1 = 6 \] Теперь делим: \[ C(6, 3) = \frac{120}{6} = 20 \] 6. **Общее количество способов выбора.** Поскольку выбор строителей и маляров независимые события, общее количество способов выбрать 5 строителей и 3 маляра будет равно произведению количеств способов: \[ \text{Общее количество способов} = C(9, 5) \times C(6, 3) = 126 \times 20 = 2520 \] Таким образом, существует **2520 способов** выбрать 5 строителей и 3 маляра из бригады.