Найти площадь фигуры, заданной неравенством: |х-6|+|у+8|≤5
Чтобы найти площадь фигуры, заданной неравенством \( |x-6| + |y+8| \leq 5 \), мы будем следовать следующим шагам:
1. Понять неравенство
Неравенство \( |x-6| + |y+8| \leq 5 \) описывает область в двухмерной координатной системе (плоскости), которую можно интерпретировать как расстояние от точки \( (6, -8) \) (центра) до любой точки \( (x, y) \).
2. Определение формы фигуры
Это неравенство описывает ромб (или квадрат, в частности, его ориентация) с вершинами, которые можно найти, установив равенство:
\[ |x - 6| + |y + 8| = 5 \]
3. Найти вершины
Чтобы найти вершины ромба, мы рассмотрим два случая для суммы абсолютных значений:
\( x - 6 \geq 0 \) и \( y + 8 \geq 0 \)
Тогда:
\( (x - 6) + (y + 8) = 5 \)
\( x + y = 3 \)
Точка: \( (6, -8) + (5, 0) = (11, -8) \)\( x - 6 \geq 0 \) и \( y + 8 < 0 \)
Тогда:
\( (x - 6) - (y + 8) = 5 \)
\( x - y = 19 \)
Точка: пересечение установим, но результат даст следующий: \( (x, y) = (11, -13) \)\( x - 6 < 0 \) и \( y + 8 \geq 0 \)
Тогда:
\( -(x - 6) + (y + 8) = 5 \)
\( -x + y = -1 \)
Точка: также можем найти - например, \( (1, -1) \)\( x - 6 < 0 \) и \( y + 8 < 0 \)
Тогда:
\( -(x - 6) - (y + 8) = 5 \)
\( -x - y = 7 \)
Точка: \( (1, -15) \)
Итак, у нас есть все точки, это:
- \( (11, -8) \)
- \( (1, -8) \)
- \( (6, -3) \)
- \( (6, -13) \)
4. Построение ромба на плоскости
На координатной плоскости фигура, ограниченная неравенством, будет выглядеть как ромб.
5. Площадь ромба
Площадь ромба \( S \) можно найти с помощью формулы:
\[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \]
где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.
- \( d_1 \) — горизонтальная диагональ между \( (11, -8) \) и \( (1, -8) \), равная \( 10 \).
- \( d_2 \) — вертикальная диагональ между \( (6, -3) \) и \( (6, -13) \), равная \( 10 \).
Теперь подставим значения в формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50 \]
6. Ответ
Таким образом, площадь фигуры, заданной неравенством \( |x-6| + |y+8| \leq 5 \), равна 50 квадратных единиц.
