1. Используя закон дистрибутивности, упрости логическое выражение: (AB)(A-B)(-АПВ)(«А-В). 2. Определи, какие из следующих логических выражений являются тавтологиями, а какие…
1. Используя закон дистрибутивности, упрости логическое выражение: (AB)(A-B)(-АПВ)(«А-В). 2. Определи, какие из следующих логических выражений являются тавтологиями, а какие контрадикциями: а) (А-А)(B-B); б) АП-А; B)A(B-B). 3. Построй таблицу истинности для следующего логического выражения: (AB)(AOC)(BOC). 4. Определи, какое логическое выражение эквивалентно выражению: (ADB) (ADB). 5. На числовой прямой даны два отрезка: Р=[14,34] и Q=[24,44]. Выбери такой отрезок А, чтобы формула (хОА) ((XP) (xQ)) была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной Х. Если таких отрезков несколько, укажи тот, который имеет большую длину. a) [15, 29]; 6) [25, 29]; B) [35, 39]; r) [49, 55]. 6. Перед началом турнира «Четырех» болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров: а) Макс победит, Билл второй; 6) Билл третий, Ник - первый; в) Макс последний, а первый Джон. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был пран только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл и Макс? В ответе перечисли подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен. 7.В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположи номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. а) принтеры сканеры & продажа; 6) принтеры & сканеры; в) принтеры | сканеры; г) принтеры сканеры продажа.
Давайте разберем заданные задачи по порядку, предоставив подробные объяснения и решения.
Задача 1: Упрощение логического выражения
Выражение: \((AB)(A-B)(-АПВ)(«А-В)\)
Для упрощения логического выражения воспользуемся законом дистрибутивности. Основные шаги:
Замените операции:
- \(A-B\) эквивалентно \(A \land \neg B\)
- \(-АПВ\) эквивалентно \(\neg (A \land B)\)
- «А-В» эквивалентно \(A \land \neg B\)
Подставим обратно:
\[ (AB) \land (A \land \neg B) \land \neg(A \land B) \land (A \land \neg B) \]Упростим:
- \(AB \land A = A\)
- \(\neg(A \land B)\) делает всё, что содержит \(AB\), ложным. Это потому, что если \(A\) и \(B\) одновременно истинны, то результат будет ложным.
Таким образом, конечное упрощение:
\[
0 \quad (\text{ложь})
\]
Задача 2: Тавтологии и контрадикции
Рассмотрим каждое выражение:
а) \((A \land \neg A)(B \land \neg B)\)
- \(A \land \neg A\) всегда ложно (контрадикция), следовательно, всё выражение — это контрадикция.
б) \(A \lor \neg A\)
- Это тавтология, так как одно из них всегда истинно независимо от значения \(A\).
в) \(A(B \land \neg B)\)
- \(B \land \neg B\) — это контрадикция, значит всё выражение также будет контрадикцией.
Итак, результат:
- а) контрадикция
- б) тавтология
- в) контрадикция
Задача 3: Построение таблицы истинности
Для выражения \((AB)(A \lor C)(B \lor C)\) создадим таблицу истинности:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & AB & A \lor C & B \lor C & (AB)(A \lor C)(B \lor C) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \]
Выражение истинно при:
- \(A = 1, B = 1, C = 0\)
- \(A = 1, B = 1, C = 1\)
Задача 4: Эквивалентность логического выражения
Выражение: \((A \land B) \land (A \land B)\)
Это выражение эквивалентно:
\[
A \land B
\]
Задача 5: Выбор отрезка
Чтобы \((x \in A) \implies ((x \in P) \land (x \in Q))\) было истинным, отрезок \(A\) должен находиться внутри обоих отрезков \(P\) и \(Q\).
Отрезок \(P=[14, 34]\) и \(Q=[24, 44]\).
Общая область:
- Начало: Максимум \(24\)
- Конец: Минимум \(34\)
Получаем отрезок \(A = [24, 34]\).
Выбирая из предложенных вариантов, он не присутствует. Однако выбираем увеличенный отрезок, например \(A = [25, 29]\), потому что это единственный подходящий вариант.
Задача 6: Определение мест участников турнира
Из условий:
- Макс победит, Билл второй.
- Билл третий, Ник - первый.
- Макс последний, а первый Джон.
Из данных:
- Из первого прогноза видно, что производитель наверняка не может занять первое место.
- Если Билл в третьем, то у Билла неверная позиция.
Решая эту систему:
- Ник первый (по второму),
- Билл третий (по первому),
- Макс последний (по третьему),
- Соответственно, Джон второй.
Ответ: 2314.
Задача 7: Порядок запросов
А) \(принтеры \land сканеры \land продажа\)
Б) \(принтеры \land \neg сканеры\)
В) \(принтеры \lor сканеры\)
Г) \(принтеры \land сканеры \land продажа\)
Расположение по возрастанию количества страниц будет:
Б) \(принтеры \land \neg сканеры\) — минимум
А) \(принтеры \land сканеры \land продажа\) — среднее
В) \(принтеры \lor сканеры\) — максимум
Г) \(принтеры \land сканеры \land продажа\) — также максимум.
Ответ: 6, 1, 3, 4.
