1. Используя закон дистрибутивности, упрости логическое выражение: (AB)(A-B)(-АПВ)(«А-В). 2. Определи, какие из следующих логических выражений являются тавтологиями, а какие контрадикциями: а) (А-А)(B-B); б) АП-А; B)A(B-B). 3. Построй таблицу истинности для следующего логического выражения: (AB)(AOC)(BOC). 4. Определи, какое логическое выражение эквивалентно выражению: (ADB) (ADB). 5. На числовой прямой даны два отрезка: Р=[14,34] и Q=[24,44]. Выбери такой отрезок А, чтобы формула (хОА) ((XP) (xQ)) была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной Х. Если таких отрезков несколько, укажи тот, который имеет большую длину. a) [15, 29]; 6) [25, 29]; B) [35, 39]; r) [49, 55]. 6. Перед началом турнира «Четырех» болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров: а) Макс победит, Билл второй; 6) Билл третий, Ник - первый; в) Макс последний, а первый Джон. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был пран только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл и Макс? В ответе перечисли подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен. 7.В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположи номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. а) принтеры сканеры & продажа; 6) принтеры & сканеры; в) принтеры | сканеры; г) принтеры сканеры продажа.

Давайте разберем заданные задачи по порядку, предоставив подробные объяснения и решения. ### Задача 1: Упрощение логического выражения Выражение: \((AB)(A-B)(-АПВ)(«А-В)\) Для упрощения логического выражения воспользуемся законом дистрибутивности. Основные шаги: 1. Замените операции: - \(A-B\) эквивалентно \(A \land \neg B\) - \(-АПВ\) эквивалентно \(\neg (A \land B)\) - «А-В» эквивалентно \(A \land \neg B\) 2. Подставим обратно: \[ (AB) \land (A \land \neg B) \land \neg(A \land B) \land (A \land \neg B) \] 3. Упростим: - \(AB \land A = A\) - \(\neg(A \land B)\) делает всё, что содержит \(AB\), ложным. Это потому, что если \(A\) и \(B\) одновременно истинны, то результат будет ложным. Таким образом, конечное упрощение: \[ 0 \quad (\text{ложь}) \] ### Задача 2: Тавтологии и контрадикции Рассмотрим каждое выражение: а) \((A \land \neg A)(B \land \neg B)\) - \(A \land \neg A\) всегда ложно (контрадикция), следовательно, всё выражение — это контрадикция. б) \(A \lor \neg A\) - Это тавтология, так как одно из них всегда истинно независимо от значения \(A\). в) \(A(B \land \neg B)\) - \(B \land \neg B\) — это контрадикция, значит всё выражение также будет контрадикцией. Итак, результат: - а) контрадикция - б) тавтология - в) контрадикция ### Задача 3: Построение таблицы истинности Для выражения \((AB)(A \lor C)(B \lor C)\) создадим таблицу истинности: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & C & AB & A \lor C & B \lor C & (AB)(A \lor C)(B \lor C) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] Выражение истинно при: 1) \(A = 1, B = 1, C = 0\) 2) \(A = 1, B = 1, C = 1\) ### Задача 4: Эквивалентность логического выражения Выражение: \((A \land B) \land (A \land B)\) Это выражение эквивалентно: \[ A \land B \] ### Задача 5: Выбор отрезка Чтобы \((x \in A) \implies ((x \in P) \land (x \in Q))\) было истинным, отрезок \(A\) должен находиться внутри обоих отрезков \(P\) и \(Q\). Отрезок \(P=[14, 34]\) и \(Q=[24, 44]\). Общая область: - Начало: Максимум \(24\) - Конец: Минимум \(34\) Получаем отрезок \(A = [24, 34]\). Выбирая из предложенных вариантов, он не присутствует. Однако выбираем увеличенный отрезок, например \(A = [25, 29]\), потому что это единственный подходящий вариант. ### Задача 6: Определение мест участников турнира Из условий: 1. Макс победит, Билл второй. 2. Билл третий, Ник - первый. 3. Макс последний, а первый Джон. Из данных: - Из первого прогноза видно, что производитель наверняка не может занять первое место. - Если Билл в третьем, то у Билла неверная позиция. Решая эту систему: - Ник первый (по второму), - Билл третий (по первому), - Макс последний (по третьему), - Соответственно, Джон второй. Ответ: **2314**. ### Задача 7: Порядок запросов А) \(принтеры \land сканеры \land продажа\) Б) \(принтеры \land \neg сканеры\) В) \(принтеры \lor сканеры\) Г) \(принтеры \land сканеры \land продажа\) Расположение по возрастанию количества страниц будет: Б) \(принтеры \land \neg сканеры\) — минимум А) \(принтеры \land сканеры \land продажа\) — среднее В) \(принтеры \lor сканеры\) — максимум Г) \(принтеры \land сканеры \land продажа\) — также максимум. Ответ: 6, 1, 3, 4.