бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки их количество равно 23 штуки из которых с повидлом шесть штук х количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных найдите…

Чтобы найти дисперсию случайной величины \(X\) (количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных), сначала давайте разберёмся с основными характеристиками нашего случая.

1. Условия задачи

• Всего пирожков: \(N = 23\)
• Пирожков с повидлом: \(k = 6\)
• Пирожков без повидла: \(N - k = 23 - 6 = 17\)

2. Определяем случайную величину

Случайная величина \(X\) может принимать значения 0, 1 или 2 (количество пирожков с повидлом в выборке из 2).

Возможные события:

• \(X = 0\): Оба пирожка без повидла.
• \(X = 1\): Один пирожок с повидлом и один без.
• \(X = 2\): Оба пирожка с повидлом.

Теперь найдём вероятности этих событий.

3. Вероятности

3.1. Вероятность, что \(X = 0\):

Количество способов выбрать 2 пирожка без повидла из 17: \[ C(17, 2) = \frac{17!}{2! \cdot (17 - 2)!} = \frac{17 \cdot 16}{2} = 136 \]

Общее количество способов выбрать 2 пирожка из 23: \[ C(23, 2) = \frac{23!}{2! \cdot (23 - 2)!} = \frac{23 \cdot 22}{2} = 253 \]

Следовательно, вероятность того, что \(X = 0\): \[ P(X = 0) = \frac{C(17, 2)}{C(23, 2)} = \frac{136}{253} \approx 0.537 \]

3.2. Вероятность, что \(X = 1\):

Количество способов выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без: \[ C(6, 1) \cdot C(17, 1) = 6 \cdot 17 = 102 \]

Следовательно, вероятность того, что \(X = 1\): \[ P(X = 1) = \frac{C(6, 1) \cdot C(17, 1)}{C(23, 2)} = \frac{102}{253} \approx 0.403 \]

3.3. Вероятность, что \(X = 2\):

Количество способов выбрать 2 пирожка с повидлом из 6: \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2! \cdot (6 - 2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \]

Следовательно, вероятность того, что \(X = 2\): \[ P(X = 2) = \frac{C(6, 2)}{C(23, 2)} = \frac{15}{253} \approx 0.059 \]

4. Ожидаемое значение

Рассчитаем ожидаемое значение \(E(X)\): \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X) = 0 \cdot \frac{136}{253} + 1 \cdot \frac{102}{253} + 2 \cdot \frac{15}{253} = \frac{102}{253} + \frac{30}{253} = \frac{132}{253} \approx 0.522 \]

5. Дисперсия

Теперь можно найти дисперсию \(D(X)\): \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала найдём \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X^2) = 0 + \frac{102}{253} + 4 \cdot \frac{15}{253} = \frac{102}{253} + \frac{60}{253} = \frac{162}{253} \approx 0.640 \]

Теперь, подставим: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{162}{253} - \left(\frac{132}{253}\right)^2 \] \[ D(X) = \frac{162}{253} - \frac{17424}{64009} \approx 0.640 - 0.272 = 0.368 \]

Округляя до сотых, получаем: \[ D(X) \approx 0.37 \]

Итог

Дисперсия случайной величины \(X\) (количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных) составляет приблизительно 0.37.