Чтобы найти дисперсию случайной величины (X) (количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных), сначала давайте разберёмся с основными характеристиками нашего случая.
1. Условия задачи
- Всего пирожков: (N = 23)
- Пирожков с повидлом: (k = 6)
- Пирожков без повидла: (N - k = 23 - 6 = 17)
2. Определяем случайную величину
Случайная величина (X) может принимать значения 0, 1 или 2 (количество пирожков с повидлом в выборке из 2).
Возможные события:
- (X = 0): Оба пирожка без повидла.
- (X = 1): Один пирожок с повидлом и один без.
- (X = 2): Оба пирожка с повидлом.
Теперь найдём вероятности этих событий.
3. Вероятности
3.1. Вероятность, что (X = 0):
Количество способов выбрать 2 пирожка без повидла из 17:
[
C(17, 2) = \frac{17!}{2! \cdot (17 - 2)!} = \frac{17 \cdot 16}{2} = 136
]
Общее количество способов выбрать 2 пирожка из 23:
[
C(23, 2) = \frac{23!}{2! \cdot (23 - 2)!} = \frac{23 \cdot 22}{2} = 253
]
Следовательно, вероятность того, что (X = 0):
[
P(X = 0) = \frac{C(17, 2)}{C(23, 2)} = \frac{136}{253} \approx 0.537
]
3.2. Вероятность, что (X = 1):
Количество способов выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без:
[
C(6, 1) \cdot C(17, 1) = 6 \cdot 17 = 102
]
Следовательно, вероятность того, что (X = 1):
[
P(X = 1) = \frac{C(6, 1) \cdot C(17, 1)}{C(23, 2)} = \frac{102}{253} \approx 0.403
]
3.3. Вероятность, что (X = 2):
Количество способов выбрать 2 пирожка с повидлом из 6:
[
C(6, 2) = \frac{6!}{2! \cdot (6 - 2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15
]
Следовательно, вероятность того, что (X = 2):
[
P(X = 2) = \frac{C(6, 2)}{C(23, 2)} = \frac{15}{253} \approx 0.059
]
4. Ожидаемое значение
Рассчитаем ожидаемое значение (E(X)):
[
E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2)
]
[
E(X) = 0 \cdot \frac{136}{253} + 1 \cdot \frac{102}{253} + 2 \cdot \frac{15}{253} = \frac{102}{253} + \frac{30}{253} = \frac{132}{253} \approx 0.522
]
5. Дисперсия
Теперь можно найти дисперсию (D(X)):
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдём (E(X^2)):
[
E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2)
]
[
E(X^2) = 0 + \frac{102}{253} + 4 \cdot \frac{15}{253} = \frac{102}{253} + \frac{60}{253} = \frac{162}{253} \approx 0.640
]
Теперь, подставим:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{162}{253} - \left(\frac{132}{253}\right)^2
]
[
D(X) = \frac{162}{253} - \frac{17424}{64009} \approx 0.640 - 0.272 = 0.368
]
Округляя до сотых, получаем:
[
D(X) \approx 0.37
]
Итог
Дисперсия случайной величины (X) (количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных) составляет приблизительно 0.37.
