дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, ребра АА1 и АD которого соответственно равны 2 и 6 , а диагональ параллелепипеда равна 11. Найдите объем параллелепипеда

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание параметров параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину (l), ширину (w) и высоту (h). В вашей задаче:

• Ребро \( AA_1 \) (высота) равно 2.
• Ребро \( AD \) (ширина) равно 6.
• Нужно найти длину \( AB \) (длина), которую мы обозначим как \( l \).

Шаг 2: Установление связи между длинами и диагональю

Диагональ \( d \) прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: \[ d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2} \] где:

• \( l \) — длина,
• \( w \) — ширина,
• \( h \) — высота.

В нашем случае:

• \( h = 2 \)
• \( w = 6 \)
• \( d = 11 \)

Подставляем известные значения в формулу: \[ 11 = \sqrt{l^2 + 6^2 + 2^2} \]

Шаг 3: Упрощение уравнения

Раскроем квадратный корень: \[ 11^2 = l^2 + 6^2 + 2^2 \] \[ 121 = l^2 + 36 + 4 \] \[ 121 = l^2 + 40 \]

Шаг 4: Решение для \( l \)

Теперь решим уравнение для \( l^2 \): \[ l^2 = 121 - 40 \] \[ l^2 = 81 \] \[ l = \sqrt{81} = 9 \]

Теперь мы знаем, что:

• \( l = 9 \) (длина)
• \( w = 6 \) (ширина)
• \( h = 2 \) (высота)

Шаг 5: Нахождение объема параллелепипеда

Объем \( V \) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \[ V = l \cdot w \cdot h \] Подставляем найденные значения: \[ V = 9 \cdot 6 \cdot 2 \]

Шаг 6: Вычисление

Теперь вычислим объем: \[ V = 9 \cdot 6 = 54 \] \[ V = 54 \cdot 2 = 108 \]

Ответ

Таким образом, объем параллелепипеда равен \( 108 \) кубических единиц.