Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, ребра АА1 и АD которого соответственно равны 2 и 6 , а диагональ параллелепипеда равна 11. Найдите объем параллелепипеда

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. ### Шаг 1: Понимание параметров параллелепипеда Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину (l), ширину (w) и высоту (h). В вашей задаче: - Ребро \( AA_1 \) (высота) равно 2. - Ребро \( AD \) (ширина) равно 6. - Нужно найти длину \( AB \) (длина), которую мы обозначим как \( l \). ### Шаг 2: Установление связи между длинами и диагональю Диагональ \( d \) прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: \[ d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2} \] где: - \( l \) — длина, - \( w \) — ширина, - \( h \) — высота. В нашем случае: - \( h = 2 \) - \( w = 6 \) - \( d = 11 \) Подставляем известные значения в формулу: \[ 11 = \sqrt{l^2 + 6^2 + 2^2} \] ### Шаг 3: Упрощение уравнения Раскроем квадратный корень: \[ 11^2 = l^2 + 6^2 + 2^2 \] \[ 121 = l^2 + 36 + 4 \] \[ 121 = l^2 + 40 \] ### Шаг 4: Решение для \( l \) Теперь решим уравнение для \( l^2 \): \[ l^2 = 121 - 40 \] \[ l^2 = 81 \] \[ l = \sqrt{81} = 9 \] Теперь мы знаем, что: - \( l = 9 \) (длина) - \( w = 6 \) (ширина) - \( h = 2 \) (высота) ### Шаг 5: Нахождение объема параллелепипеда Объем \( V \) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \[ V = l \cdot w \cdot h \] Подставляем найденные значения: \[ V = 9 \cdot 6 \cdot 2 \] ### Шаг 6: Вычисление Теперь вычислим объем: \[ V = 9 \cdot 6 = 54 \] \[ V = 54 \cdot 2 = 108 \] ### Ответ Таким образом, объем параллелепипеда равен \( 108 \) кубических единиц.