Построй график функции у = -х²+7|х|-2 и определи, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.
Решение задачи: Построение графика функции и определение наибольшего числа общих точек с прямой
Функция: Дано уравнение функции \( y = -x^2 + 7 |x| - 2 \).
Разбор функции: Функция содержит абсолютное значение, которое делает ее кусочной. Это означает, что мы будем рассматривать разные случаи в зависимости от знака \( x \).
Случай 1: \( x \geq 0 \) В этом случае \( |x| = x \). Подставляем в функцию: \[ y = -x^2 + 7x - 2 \] Это квадратная функция открывающаяся вниз.
Случай 2: \( x < 0 \) Здесь \( |x| = -x \). Подставляем в функцию: \[ y = -x^2 - 7x - 2 \] Это также квадратная функция, открывающаяся вниз.
Нахождение вершин парабол: Для нахождения вершин парабол воспользуемся формулой для координаты вершины \( x_v = -\frac{b}{2a} \).
Для \( x \geq 0 \): \[ y = -x^2 + 7x - 2 \] Здесь \( a = -1 \) и \( b = 7 \): \[ x_v = -\frac{7}{2 \cdot (-1)} = \frac{7}{2} = 3.5 \] Подставляем \( x = 3.5 \) в уравнение функции для нахождения \( y_v \): \[ y_v = - (3.5)^2 + 7 \cdot 3.5 - 2 = -12.25 + 24.5 - 2 = 10.25 \] Вершина для этого случая: \( (3.5, 10.25) \).
Для \( x < 0 \): \[ y = -x^2 - 7x - 2 \] Здесь \( a = -1 \) и \( b = -7 \): \[ x_v = -\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = -\frac{7}{2} = -3.5 \] Подставляем \( x = -3.5 \) в уравнение функции для нахождения \( y_v \): \[ y_v = - (-3.5)^2 - 7 \cdot (-3.5) - 2 = -12.25 + 24.5 - 2 = 10.25 \] Вершина для этого случая: \( (-3.5, 10.25) \).
Анализ графика: График функции представляет собой две параболы, обе вершины которых находятся на уровне \( y = 10.25 \). Это значит, что график будет пересекаться с горизонатльной прямой (параллельной оси абсцисс) дважды в случае, если прямая находится выше 10.25 и не позже чем на уровне 10.25, а также будет иметь точки пересечения с уважением к прерыву, когда прямая находится на уровне 10.25.
Определение числа общих точек:
- Если прямая находится выше 10.25, она не будет пересекаться с графиком.
- Если прямая находится ровно на уровне 10.25, она будет касаться графика в двух точках.
- Если прямая находится ниже 10.25, она может пересекаться с графиком в четырех точках (по два с каждой параболой).
Вывод:
Таким образом, наибольшее число общих точек графика функции \( y = -x^2 + 7 |x| - 2 \) с прямой, параллельной оси абсцисс, может составлять четыре точки.
