реши систему уравнений через дискриминант {x ^ 2 + 2xy - 16 = 0 { x + 2y = 4
Чтобы решить систему уравнений с помощью дискриминанта, начнем с первого уравнения и выразим одно переменную через другую.
У нас есть система уравнений:
- \( x^2 + 2xy - 16 = 0 \)
- \( x + 2y = 4 \)
Сначала выразим \( y \) из второго уравнения:
\[ x + 2y = 4 \implies 2y = 4 - x \implies y = \frac{4 - x}{2} \]
Теперь подставим \( y \) во первое уравнение:
\[ x^2 + 2x \left(\frac{4 - x}{2}\right) - 16 = 0 \]
Упростим это уравнение:
\[ x^2 + 2x \cdot \frac{4 - x}{2} - 16 = x^2 + x(4 - x) - 16 = x^2 + 4x - x^2 - 16 = 4x - 16 \]
Теперь у нас получается:
\[ 4x - 16 = 0 \]
Решим данное уравнение:
\[ 4x = 16 \implies x = 4 \]
Теперь подставим найденное значение \( x \) в уравнение для \( y \):
\[ y = \frac{4 - 4}{2} = 0 \]
Таким образом, мы нашли одно из решений:
\[ (x, y) = (4, 0) \]
Теперь мы убедимся, есть ли другие решения. Первое уравнение \( x^2 + 2xy - 16 = 0 \) — это квадратное уравнение относительно \( x \).
Обозначим:
\[ a = 1, \quad b = 2y, \quad c = -16 \]
Рассмотрим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 4y^2 + 64 \]
Дискриминант \( D \) всегда положителен (так как \( 4y^2 \) всегда неотрицателен), что означает, что у нас может быть два решения для каждого значения \( y \). Однако, в этом случае, мы можем найти \( y \) только в точке, где \( y = 0 \).
Таким образом, подставим значение \( y = 0 \) в выражение \( x + 2y = 4 \):
\[ x + 0 = 4 \implies x = 4 \]
В итоге, единственным решением данной системы будет نقطа \((4, 0)\).
Итак, общее решение данной системы уравнений:
\[ (x, y) = (4, 0) \]
