Чтобы решить систему уравнений с помощью дискриминанта, начнем с первого уравнения и выразим одно переменную через другую.
У нас есть система уравнений:
- ( x^2 + 2xy - 16 = 0 )
- ( x + 2y = 4 )
Сначала выразим ( y ) из второго уравнения:
[
x + 2y = 4 \implies 2y = 4 - x \implies y = \frac{4 - x}{2}
]
Теперь подставим ( y ) во первое уравнение:
[
x^2 + 2x \left(\frac{4 - x}{2}\right) - 16 = 0
]
Упростим это уравнение:
[
x^2 + 2x \cdot \frac{4 - x}{2} - 16 = x^2 + x(4 - x) - 16 = x^2 + 4x - x^2 - 16 = 4x - 16
]
Теперь у нас получается:
[
4x - 16 = 0
]
Решим данное уравнение:
[
4x = 16 \implies x = 4
]
Теперь подставим найденное значение ( x ) в уравнение для ( y ):
[
y = \frac{4 - 4}{2} = 0
]
Таким образом, мы нашли одно из решений:
[
(x, y) = (4, 0)
]
Теперь мы убедимся, есть ли другие решения. Первое уравнение ( x^2 + 2xy - 16 = 0 ) — это квадратное уравнение относительно ( x ).
Обозначим:
[
a = 1, \quad b = 2y, \quad c = -16
]
Рассмотрим дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 4y^2 + 64
]
Дискриминант ( D ) всегда положителен (так как ( 4y^2 ) всегда неотрицателен), что означает, что у нас может быть два решения для каждого значения ( y ). Однако, в этом случае, мы можем найти ( y ) только в точке, где ( y = 0 ).
Таким образом, подставим значение ( y = 0 ) в выражение ( x + 2y = 4 ):
[
x + 0 = 4 \implies x = 4
]
В итоге, единственным решением данной системы будет نقطа ((4, 0)).
Итак, общее решение данной системы уравнений:
[
(x, y) = (4, 0)
]
