Каждый день рождения родители Ксюши клали в копилку столько рублей, сколько ей исполнилось месяцев. Сейчас там 660 рублей. Определите, сколько Ксюше лет.
Для решения этой задачи начнем с анализа информации.
Ксюше каждый год исполняется 12 месяцев, и поэтому, когда Ксюше исполнился один год, в копилку добавилось \(1 + 2 + 3 + ... + 12\) рублей. Далее, во второй год, ей исполнилось еще 12 месяцев и копилка пополнилась суммой от 13 до 24 месяцев, и так далее.
Обозначим количество полных лет, которые сейчас есть у Ксюши, как \(x\). Тогда в копилке за все эти годы накопилось:
В первом году (от 1 до 12 месяцев): \[ 1 + 2 + 3 + \ldots + 12 = \frac{12 \cdot (12 + 1)}{2} = 78 \text{ рублей} \]
Во втором году (от 13 до 24 месяцев): \[ 13 + 14 + 15 + \ldots + 24 = \frac{12 \cdot (13 + 24)}{2} = \frac{12 \cdot 37}{2} = 222 \text{ рубля} \]
И так далее. В общем случае, общая сумма, которую откладывают в копилку за \(n\) полных лет, выглядит так: \[ S_n = 78 + (78 + 144) + (78 + 216 + \ldots) \] Мы можем заметить, что сумма за каждый следующий год увеличивается на 12 месяцев. Однако, проще всего искать через арифметическую прогрессию.
Сумма первых \(n\) месяцев складывается таким образом: \[ S_n = \frac{n(12 + 12n)}{2} \] где \(n\) — количество полных лет Ксюши. Но лучше составить и решить уравнение, исходя из имеющейся информации.
Итак, сумма в копилке 660 рублей, и нам нужно решить уравнение: \[ 1 + 2 + ... + 12 + 13 + ... + (12n) = 660 \]
Мы можем упростить этот расчет и выяснить общее количество месяцев. Количество месяцев равно \(12n\). И сумма всех месяцев от 1 до \(12n\) определяется по формуле суммы арифметической прогрессии: \[ S = \frac{m(m + 1)}{2}, \] где \(m = 12n\).
Таким образом, мы можем записать уравнение:
\[ \frac{12n(12n + 1)}{2} = 660 \]
Умножая обе стороны на 2, получаем:
\[ 12n(12n + 1) = 1320 \]
Разделим обе стороны на 12:
\[ n(12n + 1) = 110 \]
Теперь решим это квадратное уравнение:
\[ 12n^2 + n - 110 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-110) = 1 + 5280 = 5281 \]
Теперь находи корни при помощи формулы: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5281}}{24} \]
Находим приближенное значение \(\sqrt{5281} \approx 72.7\), подставляем:
\[ n_1 = \frac{-1 + 72.7}{24} \approx 3 \text{ (около 3.07)} \] \[ n_2 = \frac{-1 - 72.7}{24} \text{ (не подходит, так как отрицательное)} \]
Поскольку \(n\) — это количество лет, то оно должно быть целым числом. Приблизительно \(n = 3\) года. Поэтому, Ксюше сейчас 3 года, и в копилке последнее пополнение за 36 месяцев (3 года) будет равно 3.
Финальный ответ: Ксюше сейчас 3 года.
