Чтобы решить эту задачу, сначала вспомним, как частота колебаний связана с жёсткостью пружины и массой груза. Частота свободных колебаний груза, подвешенного на пружине, вычисляется по формуле:
[
f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}},
]
где:
- ( f ) — частота колебаний (в Гц),
- ( k ) — жёсткость пружины (в Н/м),
- ( m ) — масса груза (в кг).
Ваша задача состоит в том, чтобы определить, какая жёсткость пружины ( k' ) нужна, чтобы частота колебаний увеличилась в 4 раза. Если обозначить начальную частоту как ( f ) и новую частоту как ( f' ), то:
[
f' = 4f.
]
Теперь применим формулу для частот:
[
f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}}.
]
Подставим ( f' ) в уравнение:
[
4f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}}.
]
Теперь, подставим выражение для ( f ):
[
4 \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right) = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}}.
]
Упростим это уравнение, умножив обе части на ( 2\pi ):
[
4 \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{k'}{m}}.
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:
[
16 \frac{k}{m} = \frac{k'}{m}.
]
Умножим обе стороны на ( m ):
[
16k = k'.
]
Теперь подставим известное значение жёсткости пружины ( k = 300 , \text{Н/м} ):
[
k' = 16 \times 300.
]
Посчитаем:
[
k' = 4800 , \text{Н/м}.
]
Таким образом, чтобы частота колебаний груза увеличилась в 4 раза, жёсткость пружины должна составлять ( 4800 , \text{Н/м} ).
