Подвешенный на пружине жёсткостью 300 Н/м груз совершает свободные гармонические колебания. Какой должна быть жёсткость пружины, чтобы частота колебаний этого груза увеличилась в…

Чтобы решить эту задачу, сначала вспомним, как частота колебаний связана с жёсткостью пружины и массой груза. Частота свободных колебаний груза, подвешенного на пружине, вычисляется по формуле:

\[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}, \]

где:

• \( f \) — частота колебаний (в Гц),
• \( k \) — жёсткость пружины (в Н/м),
• \( m \) — масса груза (в кг).

Ваша задача состоит в том, чтобы определить, какая жёсткость пружины \( k' \) нужна, чтобы частота колебаний увеличилась в 4 раза. Если обозначить начальную частоту как \( f \) и новую частоту как \( f' \), то:

\[ f' = 4f. \]

Теперь применим формулу для частот: \[ f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}}. \]

Подставим \( f' \) в уравнение:

\[ 4f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}}. \]

Теперь, подставим выражение для \( f \):

\[ 4 \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \right) = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}}. \]

Упростим это уравнение, умножив обе части на \( 2\pi \):

\[ 4 \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{k'}{m}}. \]

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ 16 \frac{k}{m} = \frac{k'}{m}. \]

Умножим обе стороны на \( m \):

\[ 16k = k'. \]

Теперь подставим известное значение жёсткости пружины \( k = 300 \, \text{Н/м} \):

\[ k' = 16 \times 300. \]

Посчитаем:

\[ k' = 4800 \, \text{Н/м}. \]

Таким образом, чтобы частота колебаний груза увеличилась в 4 раза, жёсткость пружины должна составлять \( 4800 \, \text{Н/м} \).