Для решения данной задачи, воспользуемся неравенством Чебышёва, которое позволяет оценить вероятность того, что случайная величина (в нашем случае — выручка магазина) отклонится от своего среднего значения.
Дано:
- Среднее значение выручки (( \mu )) = 65000 рублей
- Среднее квадратичное отклонение (( \sigma )) = 7000 рублей
Мы хотим найти вероятность того, что выручка магазина будет в пределах от 50000 рублей до 80000 рублей.
Шаг 1: Определяем границы отклонения
Низкая граница:
[
a = 50000
]
Высокая граница:
[
b = 80000
]
Шаг 2: Рассчитываем отклонение от среднего
Теперь вычислим, насколько границы отклоняются от среднего значения (65000 рублей).
Для нижней границы (50000 рублей):
[
d_1 = \left| \mu - a \right| = \left| 65000 - 50000 \right| = 15000 \text{ рублей}
]
Для верхней границы (80000 рублей):
[
d_2 = \left| b - \mu \right| = \left| 80000 - 65000 \right| = 15000 \text{ рублей}
]
Шаг 3: Определим количество стандартных отклонений
Теперь переведем эти отклонения в числа стандартных отклонений. Для этого разделим отклонения на стандартное отклонение (( \sigma )):
[
k = \frac{d}{\sigma} = \frac{15000}{7000} \approx 2.14
]
Шаг 4: Применяем неравенство Чебышёва
Согласно неравенству Чебышёва, вероятность того, что случайная величина отклонится от своего среднего значения на большее количество стандартных отклонений ( k ), меньше чем:
[
P(\text{отклонение}) \geq 1 - \frac{1}{k^2}
]
Подставим значения ( k ):
[
P \geq 1 - \frac{1}{(2.14)^2} \approx 1 - \frac{1}{4.58} \approx 0.78
]
Шаг 5: Итог
Таким образом, вероятность того, что выручка магазина за день будет в пределах от 50000 рублей до 80000 рублей, составляет по меньшей мере 78%.
Это означает, что более 78% дней выручка магазина будет находиться в этом диапазоне.
