Чтобы вставить 4 числа между ( \frac{1}{9} ) и 27 так, чтобы все числа образовывали геометрическую прогрессию, давайте обозначим множитель прогрессии как ( q ).
Пусть первое число ( a_1 = \frac{1}{9} ), а последнее число ( a_6 = 27 ). В общем случае для геометрической прогрессии справедлива формула:
[
a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}
]
Для шестого числа:
[
a_6 = a_1 \cdot q^{5} = \frac{1}{9} \cdot q^{5} = 27
]
Теперь найдём ( q^{5} ):
[
q^{5} = 27 \cdot 9 = 243
]
Теперь найдём ( q ):
[
q = 243^{1/5}
]
[
243 = 3^5 \implies q = 3
]
Теперь можем определить все числа прогрессии:
- ( a_1 = \frac{1}{9} )
- ( a_2 = a_1 \cdot q = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3} )
- ( a_3 = a_1 \cdot q^2 = \frac{1}{9} \cdot 3^2 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1 )
- ( a_4 = a_1 \cdot q^3 = \frac{1}{9} \cdot 3^3 = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3 )
- ( a_5 = a_1 \cdot q^4 = \frac{1}{9} \cdot 3^4 = \frac{1}{9} \cdot 81 = 9 )
- ( a_6 = a_1 \cdot q^5 = 27 )
Таким образом, числа в геометрической прогрессии:
[
\frac{1}{9}, \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27
]
Наибольшее из вставленных чисел: 9.
