Решить

Давайте решим задачу, которая заключается в нахождении значений выражений с использованием того, что \( p + q = 1 \).

Часть (а)

Нам нужно найти значение выражения: \[ p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3 \]

Это выражение является разложением куба суммы: \[ (p + q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3 \]

Так как \( p + q = 1 \), подставляем это в формулу: \[ (p + q)^3 = 1^3 = 1 \]

Таким образом: \[ p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3 = 1 \]

Часть (б)

Теперь найдем значение выражения: \[ p^4 + 4p^3q + 6p^2q^2 + 4pq^3 + q^4 \]

Это выражение является разложением четвертой степени суммы: \[ (p + q)^4 = p^4 + 4p^3q + 6p^2q^2 + 4pq^3 + q^4 \]

Так как \( p + q = 1 \), подставляем это в формулу: \[ (p + q)^4 = 1^4 = 1 \]

Таким образом: \[ p^4 + 4p^3q + 6p^2q^2 + 4pq^3 + q^4 = 1 \]

Выводы

Ответы для заданных выражений:

• а) \( p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3 = 1 \)
• б) \( p^4 + 4p^3q + 6p^2q^2 + 4pq^3 + q^4 = 1 \)