Чтобы понять, в какой точке функция ( y = x^3 + 6x^2 - 2x + 4 ) имеет точку перегиба, нам нужно найти вторую производную функции и определить, где она равна нулю. Это связано с тем, что точка перегиба указывает на изменение вогнутости графика функции.
Шаг 1: Найти первую производную
Сначала найдем первую производную функции ( y ):
[
y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 - 2x + 4)
]
Используем правила дифференцирования:
[
y' = 3x^2 + 12x - 2
]
Шаг 2: Найти вторую производную
Теперь найдем вторую производную:
[
y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 12x - 2)
]
Применяя аналогичные правила дифференцирования, получаем:
[
y'' = 6x + 12
]
Шаг 3: Найти точки перегиба
Чтобы найти точки перегиба, нужно решить уравнение ( y'' = 0 ):
[
6x + 12 = 0
]
Решим это уравнение:
[
6x = -12
]
[
x = -2
]
Таким образом, точка перегиба функции находится в точке с абсциссой ( x = -2 ).
Шаг 4: Проверка вогнутости
Чтобы убедиться, что в точке ( x = -2 ) происходит изменение вогнутости, можно проверить, как вторичная производная меняется до и после этой точки. Выбор точек, например, ( x = -3 ) и ( x = -1 ):
Для ( x = -3 ):
[
y''(-3) = 6(-3) + 12 = -18 + 12 = -6 \quad (\text{вогнутая вниз})
]
Для ( x = -1 ):
[
y''(-1) = 6(-1) + 12 = -6 + 12 = 6 \quad (\text{вогнутая вверх})
]
Так как вторая производная меняет знак, это подтверждает, что в ( x = -2 ) действительно есть точка перегиба.
Ответ
Точка перегиба функции ( y = x^3 + 6x^2 - 2x + 4 ) находится в точке с абсциссой ( x = -2 ).
