Точка перегиба функции игрек равно икс в кубе + шесть икс в квадрате - два икс + четыре является точка с абциссой
Чтобы понять, в какой точке функция \( y = x^3 + 6x^2 - 2x + 4 \) имеет точку перегиба, нам нужно найти вторую производную функции и определить, где она равна нулю. Это связано с тем, что точка перегиба указывает на изменение вогнутости графика функции.
Шаг 1: Найти первую производную
Сначала найдем первую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 - 2x + 4) \]
Используем правила дифференцирования:
\[ y' = 3x^2 + 12x - 2 \]
Шаг 2: Найти вторую производную
Теперь найдем вторую производную:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 12x - 2) \]
Применяя аналогичные правила дифференцирования, получаем:
\[ y'' = 6x + 12 \]
Шаг 3: Найти точки перегиба
Чтобы найти точки перегиба, нужно решить уравнение \( y'' = 0 \):
\[ 6x + 12 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 6x = -12 \] \[ x = -2 \]
Таким образом, точка перегиба функции находится в точке с абсциссой \( x = -2 \).
Шаг 4: Проверка вогнутости
Чтобы убедиться, что в точке \( x = -2 \) происходит изменение вогнутости, можно проверить, как вторичная производная меняется до и после этой точки. Выбор точек, например, \( x = -3 \) и \( x = -1 \):
Для \( x = -3 \): \[ y''(-3) = 6(-3) + 12 = -18 + 12 = -6 \quad (\text{вогнутая вниз}) \]
Для \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 6(-1) + 12 = -6 + 12 = 6 \quad (\text{вогнутая вверх}) \]
Так как вторая производная меняет знак, это подтверждает, что в \( x = -2 \) действительно есть точка перегиба.
Ответ
Точка перегиба функции \( y = x^3 + 6x^2 - 2x + 4 \) находится в точке с абсциссой \( x = -2 \).
