да
Чтобы разложить многочлены на множители, будем использовать различные algebraic techniques. Рассмотрим каждое выражение по отдельности:
а) \( 3a^3 - 75ab^2 \)
Вынесем общий множитель: Общий множитель для обоих членов — \( 3a \).
\[ 3a^3 - 75ab^2 = 3a(a^2 - 25b^2) \]
Распознаем разность квадратов: \( a^2 - 25b^2 = (a - 5b)(a + 5b) \).
\[ 3a(a^2 - 25b^2) = 3a(a - 5b)(a + 5b) \]
б) \( 16x^2 - 56xy + 49y^2 \)
Распознаем полный квадрат: Это выражение — квадрат разности.
\[ (4x - 7y)^2 \]
в) \( a^3 - 3a^2x + 3ax^2 - x^3 \)
Воспользуемся формулой куба разности: \( a^3 - 3a^2x + 3ax^2 - x^3 = (a - x)^3 \)
\[ (a - x)^3 \]
г) \( 0,125m^3 + \frac{1}{27}n^3 \)
Распознаем сумму кубов: Это выражение можно представить как сумму кубов: \( (0,5m)^3 + \left(\frac{1}{3}n\right)^3 \).
Формула суммы кубов:
\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \]
Применим её:
\[ (0,5m + \frac{1}{3}n)((0,5m)^2 - (0,5m) \cdot \frac{1}{3}n + \left(\frac{1}{3}n\right)^2) \]
\[ = (0,5m + \frac{1}{3}n)(0,25m^2 - \frac{1}{6}mn + \frac{1}{9}n^2) \]
д) \( (b - 7)^2 - 98 \)
Заметим разность квадратов: \((b - 7)^2 - (7\sqrt{2})^2 = ((b - 7) - 7\sqrt{2})((b - 7) + 7\sqrt{2})\).
\[ ((b - 7) - 7\sqrt{2})((b - 7) + 7\sqrt{2}) \]
е) \( 3m^2 - 4m + \frac{1}{3} \)
Приведем к общему знаменателю для упрощения:
Приведение к общему знаменателю не приведет к разложению на множители через такие простые формулы. Проверим возможно ли разложение через подбор:
Поиск подходящих множителей не находит простого решения — оставим выражение как есть или, для точного разложения, используем дискриминант или формулы для решения квадратных уравнений.
Таким образом, для многих из выражений использовались стандартные формулы сокращенного умножения, такие как разность и сумма квадратов, полный квадрат, куб разности/суммы и разложение на общие множители.
