Известно, что периметр равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 90 равен 184. Определи площадь трапеции.
Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним некоторые основные понятия.
Определения и формулы:
Периметр трапеции: это сумма длин всех сторон. Для равнобедренной трапеции с основаниями \( a \) и \( b \) и боковыми сторонами \( c \) периметр можно выразить как: \[ P = a + b + 2c \]
Площадь трапеции: площадь \( S \) трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( h \) — высота трапеции.
Дано:
- Основания \( a = 20 \) и \( b = 90 \).
- Периметр \( P = 184 \).
1. Найдем длины боковых сторон.
Сначала подставим известные величины в формулу для периметра: \[ P = a + b + 2c \] Подставляем: \[ 184 = 20 + 90 + 2c \] Сложим значения: \[ 184 = 110 + 2c \] Теперь выразим \( 2c \): \[ 2c = 184 - 110 = 74 \] Теперь найдем \( c \): \[ c = \frac{74}{2} = 37 \] Таким образом, длина боковых сторон равнобедренной трапеции \( c = 37 \).
2. Площадь трапеции.
Теперь нам необходимо найти высоту \( h \) трапеции, чтобы затем вычислить площадь. Для этого воспользуемся прямоугольным треугольником, образованным высотой и отрезками, соединяющими верхнее основание с нижним.
2.1. Найдем высоту.
Равнобедренная трапеция, разбитая на два прямоугольных треугольника и прямоугольник, выглядит следующим образом:
- Разделим основание разности \( b - a = 90 - 20 = 70 \) пополам: \[ \frac{70}{2} = 35 \]
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с основанием 35 (это половина разности оснований), высотой \( h \) и гипотенузой \( c = 37 \).
Используем теорему Пифагора: \[ h^2 + 35^2 = 37^2 \]
Теперь вычислим: \[ h^2 + 1225 = 1369 \] \[ h^2 = 1369 - 1225 = 144 \] \[ h = \sqrt{144} = 12 \]
2.2. Найдем площадь.
Теперь, когда у нас есть высота, можем найти площадь: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] Подставим значения: \[ S = \frac{(20 + 90) \cdot 12}{2} = \frac{110 \cdot 12}{2} = \frac{1320}{2} = 660 \]
Ответ:
Площадь трапеции равна 660 квадратных единиц.
