Разберем задачу, связанную с преломлением света, по шагам.
Дано:
- Свет переходит из воздуха в стекло.
- Абсолютный показатель преломления воздуха ( n_1 = 1 ).
- Абсолютный показатель преломления стекла ( n_2 = 1.5 ).
Задача:
Сравнить угол падения и угол преломления, скорости, длины волн и частоты.
1. Угол падения и угол преломления
При переходе света из одной среды в другую угол падения ( \theta_1 ) и угол преломления ( \theta_2 ) связаны законом Снелиуса:
[
n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)
]
При этом:
- ( n_1 = 1 ) (воздух)
- ( n_2 = 1.5 ) (стекло)
Пример
Если угол падения ( \theta_1 ) равен 30 градусам, тогда мы можем найти угол преломления ( \theta_2 ):
[
1 \cdot \sin(30^\circ) = 1.5 \cdot \sin(\theta_2)
]
[
\sin(\theta_2) = \frac{\sin(30^\circ)}{1.5} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}
]
Таким образом, начиная с угла падения 30°, мы найдём угол преломления с помощью обратной функции синуса:
[
\theta_2 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.1^\circ
]
2. Скорости света
Скорость света в разных средах определяется формулой:
[
v = \frac{c}{n}
]
где:
- ( c ) — скорость света в вакууме (примерно ( 3 \times 10^8 ) м/с),
- ( n ) — показатель преломления.
Для воздуха:
[
v_1 = \frac{3 \times 10^8}{1} = 3 \times 10^8 , \text{м/с}
]
Для стекла:
[
v_2 = \frac{3 \times 10^8}{1.5} = 2 \times 10^8 , \text{м/с}
]
Сравнение:
- Скорость света в воздухе больше, чем в стекле. То есть ( v_1 > v_2 ).
3. Длины волн и частоты
Длина волны ( \lambda ) также зависит от показателя преломления и скорости света:
[
\lambda = \frac{v}{f}
]
где ( f ) — частота волны.
При переходе света из одной среды в другую его частота остаётся постоянной. Однако длина волны изменяется:
[
\lambda_1 = \frac{v_1}{f} \quad \text{(в воздухе)}
]
[
\lambda_2 = \frac{v_2}{f} \quad \text{(в стекле)}
]
Сравнение:
- Длина волны в воздухе больше, чем в стекле, поскольку скорость света в воздухе больше.
Итоги:
- Угол падения и угол преломления: Угол падения больше угла преломления (( \theta_1 > \theta_2 )).
- Скорости света: ( v_1 > v_2 ).
- Длины волн: ( \lambda_1 > \lambda_2 ) (длина волны в воздухе больше, чем в стекле).
- Частота: Частота остаётся постоянной.
Эти принципы лежат в основе оптики и помогают объяснить поведение света при переходе между различными средами.
