Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрию.
Дано:
- Прямоугольный треугольник (UMS) (где (U) — одна из вершин прямого угла, (M) — другая, (S) — вершина, напротив которой лежит гипотенуза (US)).
- Высота (MH) проведена к гипотенузе (US).
- Угол (\angle HMS = 30^\circ).
- Длина отрезка (HS = 6).
Необходимо найти длину отрезка (UM).
Шаг 1: Определение сторон треугольника
Сначала найдем длину стороны (HM) с использованием тригонометрических функций:
[
\sin(\angle HMS) = \frac{HM}{HS}
]
Теперь подставим известные значения:
[
\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
]
Таким образом, у нас есть:
[
\frac{HM}{6} = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Вычисление (HM)
Теперь решим уравнение для нахождения (HM):
[
HM = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3
]
Шаг 3: Использование определения косинуса для нахождения (UM)
Теперь найдем (UM) (длину отрезка (UM)), используя (HS) и (HM):
Находим (UM) с использованием тригонометрической функции косинуса:
[
\cos(\angle HMS) = \frac{UM}{HS}
]
Подставляя значения:
[
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
И подставляя, получаем:
[
\frac{UM}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Шаг 4: Решение уравнения для (UM)
Решаем это уравнение для нахождения (UM):
[
UM = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}
]
Шаг 5: Запись ответа в соответствии с условиями
В соответствии с условиями задачи, необходимо записать ответ в виде числа, делённого на (\sqrt{3}):
[
UM = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3
]
Ответ:
Таким образом, длина (UM) равна 3.
