В прямоугольном треугольнике UMS к гипотенузе проведена высота MH. Найди UM, если ∠HMS = 300, HS = 6. В ответе запиши число, делённое на square root of 3.
Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрию.
Дано:
- Прямоугольный треугольник \(UMS\) (где \(U\) — одна из вершин прямого угла, \(M\) — другая, \(S\) — вершина, напротив которой лежит гипотенуза \(US\)).
- Высота \(MH\) проведена к гипотенузе \(US\).
- Угол \(\angle HMS = 30^\circ\).
- Длина отрезка \(HS = 6\).
Необходимо найти длину отрезка \(UM\).
Шаг 1: Определение сторон треугольника
Сначала найдем длину стороны \(HM\) с использованием тригонометрических функций:
\[ \sin(\angle HMS) = \frac{HM}{HS} \]
Теперь подставим известные значения:
\[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]
Таким образом, у нас есть:
\[ \frac{HM}{6} = \frac{1}{2} \]
Шаг 2: Вычисление \(HM\)
Теперь решим уравнение для нахождения \(HM\):
\[ HM = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \]
Шаг 3: Использование определения косинуса для нахождения \(UM\)
Теперь найдем \(UM\) (длину отрезка \(UM\)), используя \(HS\) и \(HM\):
Находим \(UM\) с использованием тригонометрической функции косинуса:
\[ \cos(\angle HMS) = \frac{UM}{HS} \]
Подставляя значения:
\[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
И подставляя, получаем:
\[ \frac{UM}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Шаг 4: Решение уравнения для \(UM\)
Решаем это уравнение для нахождения \(UM\):
\[ UM = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]
Шаг 5: Запись ответа в соответствии с условиями
В соответствии с условиями задачи, необходимо записать ответ в виде числа, делённого на \(\sqrt{3}\):
\[ UM = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \]
Ответ:
Таким образом, длина \(UM\) равна 3.
