3.21. Стержень АВ длины падает, находясь во все время движения в вертикальной плоскости. Концы и В стержня при этом скользят по вертикальной A стене и горизонтальному полу…

Для решения данной задачи начнем с анализа положения стержня в заданной системе координат. Стержень \( AB \) длины \( l \) находит в вертикальной плоскости, при этом его концы \( A \) и \( B \) скользят по вертикальной стене и горизонтальному полу соответственно. Точки \( C \) и \( D \) - это проекции концов стержня на соответствующие оси.

Шаг 1: Определение координат точек A и B

Пусть \( A \) - это точка, которая скользит по вертикальной стене, и её координаты могут быть заданы как \( (0, y_A) \). Точка \( B \) скользит по горизонтальному полу, и её координаты будут \( (x_B, 0) \).

Исходя из условия задачи, мы знаем, что длина стержня \( AB \) равна \( l \): \[ AB = \sqrt{(x_B - 0)^2 + (y_A - 0)^2} = l. \]

Шаг 2: Уравнение стержня

Это уравнение можно упростить, чтобы выразить одну переменную через другую: \[ x_B^2 + y_A^2 = l^2. \]

Шаг 3: Определение координат точек C и D

Точка \( C \) находится на середине стержня \( AB \), следовательно, её координаты будут: \[ C = \left( \frac{x_B}{2}, \frac{y_A}{2} \right). \]

Точка \( D \) находится на 3/4 длины стержня от точки \( A \): \[ D = \left( \frac{3}{4} x_B, \frac{3}{4} y_A \right). \]

Шаг 4: Траектории точек C и D

Чтобы понять, как меняются координаты этих точек в зависимости от положения стержня, выразим \( y_A \) через \( x_B \): \[ y_A = \sqrt{l^2 - x_B^2}. \]

Теперь подставим это выражение в координаты точек \( C \) и \( D \):

• Для точки \( C \): \[ C = \left( \frac{x_B}{2}, \frac{\sqrt{l^2 - x_B^2}}{2} \right). \]

• Для точки \( D \): \[ D = \left( \frac{3}{4} x_B, \frac{3}{4} \sqrt{l^2 - x_B^2} \right). \]

Шаг 5: Нахождение радиуса кривизны точки D

При соприкосновении стержня с полом (когда \( y_A = 0 \)), \( x_B = l \). Координаты точки \( D \) будут: \[ D = \left( \frac{3}{4} l, 0 \right). \]

Радиус кривизны \( R \) в данной точке может быть найден через производные: \[ R = \frac{\left(1 + \left( \frac{dy_A}{dx_B} \right)^2 \right)^{3/2}}{ \left( \frac{d^2y_A}{dx_B^2} \right)}. \]

Вычислим первую и вторую производные координаты \( y_A \): \[ y_A = \sqrt{l^2 - x_B^2} \implies \frac{dy_A}{dx_B} = -\frac{x_B}{\sqrt{l^2 - x_B^2}}, \] \[ \frac{d^2y_A}{dx_B^2} = -\frac{\sqrt{l^2 - x_B^2} - \frac{x_B^2}{\sqrt{l^2 - x_B^2}}}{l^2 - x_B^2} = \frac{-l^2}{(l^2 - x_B^2)^{3/2}}. \]

При вычислении радиуса кривизны в момент соприкосновения: \[ R = \frac{\left(1 + \left( -\frac{l}{0} \right)^2 \right)^{3/2}}{ \left( \frac{-l^2}{(0)^{3/2}} \right)}. \]

Это выражение на самом деле может быть сложным в случае \( x_B = l \), поскольку в этом случае происходит вертикальный контакт.

Общий вывод

Траектории точек \( C \) и \( D \) – это парабола, а радиус кривизны в момент соприкосновения стержня с полом может рассчитываться в границах, при \( x_B \) приближающейся к \( l \).