Площадь треугольника  A B C ABC равна  40 40.  D E DE — средняя линия треугольника  A B C ABC, которая параллельна стороне  A C AC. Найди площадь треугольника  B D E BDE.

Чтобы понять эту задачу, давайте разберем её по шагам. ### Задание: Дано, что площадь треугольника \( ABC \) равна \( 40 \). Линия \( DE \) — это средняя линия треугольника \( ABC \), и она параллельна стороне \( AC \). Нам нужно найти площадь треугольника \( BDE \). ### Определения и свойства: 1. **Средняя линия треугольника** — это отрезок, соединяющий средние точки двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна ей пополам. 2. Площадь треугольника уменьшается в квадрате отношения линейных размеров (высоты, основания) к сравнению с оригинальным треугольником. ### Шаг 1: Площадь треугольника ABC Согласно условию задачи, площадь треугольника \( ABC \) составляет \( 40 \) квадратных единиц. ### Шаг 2: Параллельность Поскольку \( DE \) — это средняя линия, она параллельна стороне \( AC \) и делит треугольник \( ABC \) на два меньших треугольника: \( BDE \) и \( ADE \). При этом высота треугольника \( BDE \) относительно основания \( DE \) в два раза меньше, чем высота треугольника \( ABC \) относительно основания \( AC \). ### Шаг 3: Отношение площадей Раз средняя линия \( DE \) параллельна стороне \( AC \) и делит треугольник \( ABC \): - Площадь треугольника \( BDE \) составит \( \frac{1}{4} \) площади треугольника \( ABC \). Это происходит потому, что отношение высот треугольников \( BDE \) и \( ABC \) равно \( \frac{1}{2} \), а площадь пропорциональна квадрату этого отношения: \[ \text{Площадь } BDE = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \text{Площадь } ABC = \frac{1}{4} \times 40 = 10. \] ### Ответ Таким образом, площадь треугольника \( BDE \) составляет \( 10 \) квадратных единиц. ### Заключение Подводя итоги, мы выяснили, что площадь треугольника \( BDE \) равна \( 10 \) за счёт свойств средней линии треугольника и всего треугольника \( ABC \).