Чтобы вычислить объём конуса, воспользуемся формулой:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
где ( V ) — объём конуса, ( r ) — радиус основания, ( h ) — высота конуса.
Шаг 1: Находим радиус основания конуса.
Дано, что длина окружности основание конуса равна ( 20 \pi ) см. Длина окружности ( C ) вычисляется по формуле:
[
C = 2 \pi r
]
Подставим известное значение:
[
20 \pi = 2 \pi r
]
Теперь разделим обе стороны на ( 2 \pi ):
[
r = \frac{20 \pi}{2 \pi} = 10 \text{ см}
]
Таким образом, радиус основания ( r = 10 ) см.
Шаг 2: Подставим значения в формулу для объёма.
Теперь, зная радиус и высоту, можем подставить значения в формулу для объёма:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
Здесь ( h = 7,5 ) см и ( r = 10 ) см. Тогда вычисляем:
[
V = \frac{1}{3} \pi (10)^2 (7,5)
]
Сначала найдём ( r^2 ):
[
10^2 = 100
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
V = \frac{1}{3} \pi (100) (7,5)
]
Теперь произведём умножение:
[
100 \times 7,5 = 7500
]
Таким образом, объём станет:
[
V = \frac{1}{3} \pi (7500)
]
Шаг 3: Упрощаем результат.
Теперь делим ( 7500 ) на ( 3 ):
[
\frac{7500}{3} = 2500
]
Следовательно, объём конуса:
[
V = 2500 \pi \text{ см}^3
]
Ответ: ( 2500 \pi \text{ см}^3 )
