Проведено 1000 испытаний Бернулли 0,1 составила вероятность успешного испытания для каждого случая оцени вероятность того что в проведённых испытаниях разница между числом успехов…

Чтобы решить задачу, начнем с понимания условий, в которых мы работаем. Мы имеем 1000 испытаний Бернулли, где вероятность успеха в каждом испытании равна 0,1 (то есть вероятность неудачи равна 0,9). Наша цель — оценить вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50.

Шаг 1: Определим среднее число успехов

Для испытаний Бернулли среднее число успехов \( \mu \) можно вычислить по формуле:

\[ \mu = n \cdot p \]

где

• \( n \) — общее число испытаний (в данном случае 1000),
• \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании (в данном случае 0,1).

Подставим значения:

\[ \mu = 1000 \cdot 0,1 = 100 \]

Шаг 2: Определим дисперсию и стандартное отклонение

Дисперсия \( \sigma^2 \) для испытаний Бернулли вычисляется по формуле:

\[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) \]

Подставим значения:

\[ \sigma^2 = 1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9 = 90 \]

Теперь, найдем стандартное отклонение \( \sigma \):

\[ \sigma = \sqrt{90} \approx 9,49 \]

Шаг 3: Подсчитаем пределах

Теперь мы хотим найти вероятность того, что разница между числом успехов \( X \) и средним числом успехов \( \mu \) меньше 50:

\[ |X - \mu| < 50 \]

Это условие можно записать следующим образом:

\[ \mu - 50 < X < \mu + 50 \rightarrow 100 - 50 < X < 100 + 50 \rightarrow 50 < X < 150 \]

Шаг 4: Используем нормальное приближение

Для больших \( n \) распределение числа успехов можно приближенно считать нормальным с параметрами \( \mu = 100 \) и \( \sigma = 9.49 \).

Используя стандартные нормальные координаты, преобразуем неравенство:

1. Находим для нижней границы (50):

\[ z_1 = \frac{50 - 100}{9.49} \approx -5.28 \]

2. Находим для верхней границы (150):

\[ z_2 = \frac{150 - 100}{9.49} \approx 5.28 \]

Эти значения \( z_1 \) и \( z_2 \) соответствуют стандартному нормальному распределению.

Шаг 5: Находим значения вероятности

Теперь мы можем использовать таблицу нормального распределения или калькулятор \( P(Z < z) \) для нахождения вероятностей.

1. Для \( z_1 \approx -5.28 \), вероятность \( P(Z < -5.28) \) очень близка к 0.
2. Для \( z_2 \approx 5.28 \), вероятность \( P(Z < 5.28) \) близка к 1.

Шаг 6: Рассчитаем полную вероятность

Поскольку мы ищем вероятность, что \( 50 < X < 150 \):

\[ P(50 < X < 150) = P(Z < 5.28) - P(Z < -5.28) \approx 1 - 0 = 1 \]

Вывод

Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50, практически равна 1, то есть практически 100%. Это значит, что в 1000 испытаниях мы с большой вероятностью получим от 50 до 150 успешных испытаний.