Чтобы решить задачу, начнем с понимания условий, в которых мы работаем. Мы имеем 1000 испытаний Бернулли, где вероятность успеха в каждом испытании равна 0,1 (то есть вероятность неудачи равна 0,9). Наша цель — оценить вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50.
Шаг 1: Определим среднее число успехов
Для испытаний Бернулли среднее число успехов ( \mu ) можно вычислить по формуле:
[
\mu = n \cdot p
]
где
- ( n ) — общее число испытаний (в данном случае 1000),
- ( p ) — вероятность успеха в каждом испытании (в данном случае 0,1).
Подставим значения:
[
\mu = 1000 \cdot 0,1 = 100
]
Шаг 2: Определим дисперсию и стандартное отклонение
Дисперсия ( \sigma^2 ) для испытаний Бернулли вычисляется по формуле:
[
\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)
]
Подставим значения:
[
\sigma^2 = 1000 \cdot 0,1 \cdot 0,9 = 90
]
Теперь, найдем стандартное отклонение ( \sigma ):
[
\sigma = \sqrt{90} \approx 9,49
]
Шаг 3: Подсчитаем пределах
Теперь мы хотим найти вероятность того, что разница между числом успехов ( X ) и средним числом успехов ( \mu ) меньше 50:
[
|X - \mu| < 50
]
Это условие можно записать следующим образом:
[
\mu - 50 < X < \mu + 50 \rightarrow 100 - 50 < X < 100 + 50 \rightarrow 50 < X < 150
]
Шаг 4: Используем нормальное приближение
Для больших ( n ) распределение числа успехов можно приближенно считать нормальным с параметрами ( \mu = 100 ) и ( \sigma = 9.49 ).
Используя стандартные нормальные координаты, преобразуем неравенство:
- Находим для нижней границы (50):
[
z_1 = \frac{50 - 100}{9.49} \approx -5.28
]
- Находим для верхней границы (150):
[
z_2 = \frac{150 - 100}{9.49} \approx 5.28
]
Эти значения ( z_1 ) и ( z_2 ) соответствуют стандартному нормальному распределению.
Шаг 5: Находим значения вероятности
Теперь мы можем использовать таблицу нормального распределения или калькулятор ( P(Z < z) ) для нахождения вероятностей.
- Для ( z_1 \approx -5.28 ), вероятность ( P(Z < -5.28) ) очень близка к 0.
- Для ( z_2 \approx 5.28 ), вероятность ( P(Z < 5.28) ) близка к 1.
Шаг 6: Рассчитаем полную вероятность
Поскольку мы ищем вероятность, что ( 50 < X < 150 ):
[
P(50 < X < 150) = P(Z < 5.28) - P(Z < -5.28) \approx 1 - 0 = 1
]
Вывод
Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 50, практически равна 1, то есть практически 100%. Это значит, что в 1000 испытаниях мы с большой вероятностью получим от 50 до 150 успешных испытаний.
