Арифметическая прогрессия содержит 8 членов, а ее разность равна 4. Насколько сумма членов с четными номерами отличается от суммы членов с нечетными номерами?

Для решения этой задачи начнем с того, что определим арифметическую прогрессию. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый последующий член получается путем добавления постоянной величины (разности) к предыдущему.

Дано:

• Количество членов прогрессии \( n = 8 \)
• Разность прогрессии \( d = 4 \)

Обозначим первый член прогрессии как \( a \). Тогда следующие члены прогрессии будут выглядеть следующим образом:

• 1-й член: \( a \)
• 2-й член: \( a + d = a + 4 \)
• 3-й член: \( a + 2d = a + 8 \)
• 4-й член: \( a + 3d = a + 12 \)
• 5-й член: \( a + 4d = a + 16 \)
• 6-й член: \( a + 5d = a + 20 \)
• 7-й член: \( a + 6d = a + 24 \)
• 8-й член: \( a + 7d = a + 28 \)

Теперь найдем сумму членов с четными номерами и членов с нечетными номерами.

Члены с четными номерами:

• 2-й член: \( a + 4 \)
• 4-й член: \( a + 12 \)
• 6-й член: \( a + 20 \)
• 8-й член: \( a + 28 \)

Сумма членов с четными номерами: \[ S_{\text{четные}} = (a + 4) + (a + 12) + (a + 20) + (a + 28) = 4a + (4 + 12 + 20 + 28) \] Считаем сумму: \[ 4 + 12 + 20 + 28 = 64 \] Таким образом, \[ S_{\text{четные}} = 4a + 64 \]

Члены с нечетными номерами:

• 1-й член: \( a \)
• 3-й член: \( a + 8 \)
• 5-й член: \( a + 16 \)
• 7-й член: \( a + 24 \)

Сумма членов с нечетными номерами: \[ S_{\text{нечетные}} = a + (a + 8) + (a + 16) + (a + 24) = 4a + (0 + 8 + 16 + 24) \] Считаем сумму: \[ 8 + 16 + 24 = 48 \] Таким образом, \[ S_{\text{нечетные}} = 4a + 48 \]

Теперь найдем разность между суммами: \[ \Delta S = S_{\text{четные}} - S_{\text{нечетные}} = (4a + 64) - (4a + 48) \] \[ \Delta S = 64 - 48 = 16 \]

Ответ: Сумма членов с четными номерами отличается от суммы членов с нечетными номерами на \( 16 \).