Найдите первые 5 членов геометрической прогрессии, если b1=-112 и q=-0,5. -112; ...; ...; ...; ...; вычислите сумму первых пяти членов S5=

Чтобы найти первые пять членов геометрической прогрессии (ГП) и вычислить сумму этих членов, давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия. **Определение:** Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, называемое **знаменателем прогрессии** (обозначается как \( q \)). **Формула для нахождения n-го члена ГП:** \[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \] где: - \( b_n \) — n-й член прогрессии, - \( b_1 \) — первый член, - \( q \) — общее отношение (знаменатель), - \( n \) — номер члена. **Дано:** - Первый член \( b_1 = -112 \) - Знаменатель \( q = -0.5 \) Теперь найдем первые 5 членов. ### Шаг 1: Находим каждый член прогрессии 1. **Первый член** (\( n = 1 \)): \[ b_1 = -112 \] 2. **Второй член** (\( n = 2 \)): \[ b_2 = b_1 \cdot q^{(2-1)} = -112 \cdot (-0.5) = 56 \] 3. **Третий член** (\( n = 3 \)): \[ b_3 = b_1 \cdot q^{(3-1)} = -112 \cdot (-0.5)^2 = -112 \cdot 0.25 = -28 \] 4. **Четвертый член** (\( n = 4 \)): \[ b_4 = b_1 \cdot q^{(4-1)} = -112 \cdot (-0.5)^3 = -112 \cdot -0.125 = 14 \] 5. **Пятый член** (\( n = 5 \)): \[ b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)} = -112 \cdot (-0.5)^4 = -112 \cdot 0.0625 = -7 \] ### Итоговые пять членов ГП: - \( b_1 = -112 \) - \( b_2 = 56 \) - \( b_3 = -28 \) - \( b_4 = 14 \) - \( b_5 = -7 \) Таким образом, первые пять членов прогрессии: \(-112; 56; -28; 14; -7\) ### Шаг 2: Находим сумму первых пяти членов **Формула для суммы первых n членов ГП:** \[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (если\; q \neq 1) \] Где: - \( S_n \) — сумма первых n членов, - \( n \) — количество членов. Теперь подставим наши значения для первых 5 членов: - \( n = 5 \) - \( b_1 = -112 \) - \( q = -0.5 \) ### Рассчитаем сумму: \[ S_5 = -112 \cdot \frac{1 - (-0.5)^5}{1 - (-0.5)} \] Сначала посчитаем \( (-0.5)^5 \): \[ (-0.5)^5 = -0.03125 \] Теперь подставим в формулу: \[ S_5 = -112 \cdot \frac{1 - (-0.03125)}{1 + 0.5} = -112 \cdot \frac{1 + 0.03125}{1.5} = -112 \cdot \frac{1.03125}{1.5} \] Теперь вычислим \( \frac{1.03125}{1.5} \): \[ \frac{1.03125}{1.5} = 0.6875 \] Теперь подставим обратно: \[ S_5 = -112 \cdot 0.6875 = -77 \] ### Итог: Сумма первых пяти членов \( S_5 = -77 \). Таким образом, мы нашли первые пять членов геометрической прогрессии (\(-112; 56; -28; 14; -7\)) и сумму этих членов (\( S_5 = -77 \)).