найдите первые 5 членов геометрической прогрессии, если b1=-112 и q=-0,5. -112; ...; ...; ...; ...; вычислите сумму первых пяти членов S5=

Чтобы найти первые пять членов геометрической прогрессии (ГП) и вычислить сумму этих членов, давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.

Определение:
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначается как \( q \)).

Формула для нахождения n-го члена ГП:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \] где:

• \( b_n \) — n-й член прогрессии,
• \( b_1 \) — первый член,
• \( q \) — общее отношение (знаменатель),
• \( n \) — номер члена.

Дано:

• Первый член \( b_1 = -112 \)
• Знаменатель \( q = -0.5 \)

Теперь найдем первые 5 членов.

Шаг 1: Находим каждый член прогрессии

1. Первый член (\( n = 1 \)): \[ b_1 = -112 \]

2. Второй член (\( n = 2 \)): \[ b_2 = b_1 \cdot q^{(2-1)} = -112 \cdot (-0.5) = 56 \]

3. Третий член (\( n = 3 \)): \[ b_3 = b_1 \cdot q^{(3-1)} = -112 \cdot (-0.5)^2 = -112 \cdot 0.25 = -28 \]

4. Четвертый член (\( n = 4 \)): \[ b_4 = b_1 \cdot q^{(4-1)} = -112 \cdot (-0.5)^3 = -112 \cdot -0.125 = 14 \]

5. Пятый член (\( n = 5 \)): \[ b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)} = -112 \cdot (-0.5)^4 = -112 \cdot 0.0625 = -7 \]

Итоговые пять членов ГП:

• \( b_1 = -112 \)
• \( b_2 = 56 \)
• \( b_3 = -28 \)
• \( b_4 = 14 \)
• \( b_5 = -7 \)

Таким образом, первые пять членов прогрессии:
\(-112; 56; -28; 14; -7\)

Шаг 2: Находим сумму первых пяти членов

Формула для суммы первых n членов ГП:
\[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (если\; q \neq 1) \]

Где:

• \( S_n \) — сумма первых n членов,
• \( n \) — количество членов.

Теперь подставим наши значения для первых 5 членов:

• \( n = 5 \)
• \( b_1 = -112 \)
• \( q = -0.5 \)

Рассчитаем сумму:

\[ S_5 = -112 \cdot \frac{1 - (-0.5)^5}{1 - (-0.5)} \]

Сначала посчитаем \( (-0.5)^5 \): \[ (-0.5)^5 = -0.03125 \]

Теперь подставим в формулу: \[ S_5 = -112 \cdot \frac{1 - (-0.03125)}{1 + 0.5} = -112 \cdot \frac{1 + 0.03125}{1.5} = -112 \cdot \frac{1.03125}{1.5} \]

Теперь вычислим \( \frac{1.03125}{1.5} \): \[ \frac{1.03125}{1.5} = 0.6875 \]

Теперь подставим обратно: \[ S_5 = -112 \cdot 0.6875 = -77 \]

Итог:

Сумма первых пяти членов \( S_5 = -77 \).

Таким образом, мы нашли первые пять членов геометрической прогрессии (\(-112; 56; -28; 14; -7\)) и сумму этих членов (\( S_5 = -77 \)).