1. f(x)=1/3 x³-4x². на (-1;1)

Для того чтобы понять, как работает функция \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 \) на интервале \((-1; 1)\), давайте детально разберем этот процесс, включая нахождение производной функции, ее критические точки и анализ.

Шаг 1: Найдем производную функции

Производная функции даст нам информацию о том, где функция возрастает или убывает. Найдем производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - 4x^2\right) \]

Используем правила дифференцирования:

• Производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
• Таким образом, получаем:

\[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x \] \[ f'(x) = x^2 - 8x \]

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки - это точки, где производная равна нулю или не определена. Для нашей функции находим нули производной:

\[ f'(x) = x^2 - 8x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x - 8) = 0 \]

Получаем два решения:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 8 \]

Но так как нас интересует интервал \((-1; 1)\), мы рассматриваем только \( x = 0 \).

Шаг 3: Анализ знака производной

Теперь проверим, как изменяется знак производной на интервале \((-1; 1)\):

1. \( f'(-1) = (-1)^2 - 8(-1) = 1 + 8 = 9 > 0\) (возрастает)
2. \( f'(0) = 0^2 - 8(0) = 0\) (критическая точка)
3. \( f'(0.5) = (0.5)^2 - 8(0.5) = 0.25 - 4 = -3.75 < 0\) (убывает)
4. \( f'(1) = (1)^2 - 8(1) = 1 - 8 = -7 < 0\) (убывает)

Таким образом:

• Функция возрастает на интервале \((-1; 0)\),
• Достигает максимума в точке \( x = 0 \),
• Убывает на интервале \((0; 1)\).

Шаг 4: Найдем значение функции в критических точках и на краях интервала

Посчитаем значения функции на границах интервала и в критической точке \( x = 0 \):

1. \( f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - 4(-1)^2 = \frac{-1}{3} - 4 = \frac{-1}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-13}{3} \)
2. \( f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 4(0)^2 = 0 \)
3. \( f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 4(1)^2 = \frac{1}{3} - 4 = \frac{1}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-11}{3} \)

Шаг 5: Итоги анализа функции

• Значение на \( x = -1 \): \( f(-1) = \frac{-13}{3} \) (примерно -4.33)
• Значение на \( x = 0 \): \( f(0) = 0 \)
• Значение на \( x = 1 \): \( f(1) = \frac{-11}{3} \) (примерно -3.67)

Вывод

Функция \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 \) на интервале \((-1; 1)\) достигает максимума в точке \( x = 0 \) и убывает в пределах данного интервала, начиная с \( f(-1) \approx -4.33 \), достигает значения 0 в \( f(0) \) и затем падает до \( f(1) \approx -3.67 \).

Таким образом, график функции показывает убывание после достижения максимума.