1. f(x)=1/3 x³-4x². на (-1;1)

Для того чтобы понять, как работает функция \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 \) на интервале \((-1; 1)\), давайте детально разберем этот процесс, включая нахождение производной функции, ее критические точки и анализ. ### Шаг 1: Найдем производную функции Производная функции даст нам информацию о том, где функция возрастает или убывает. Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - 4x^2\right) \] Используем правила дифференцирования: - Производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \). - Таким образом, получаем: \[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x \] \[ f'(x) = x^2 - 8x \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Критические точки - это точки, где производная равна нулю или не определена. Для нашей функции находим нули производной: \[ f'(x) = x^2 - 8x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(x - 8) = 0 \] Получаем два решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 8 \] Но так как нас интересует интервал \((-1; 1)\), мы рассматриваем только \( x = 0 \). ### Шаг 3: Анализ знака производной Теперь проверим, как изменяется знак производной на интервале \((-1; 1)\): 1. \( f'(-1) = (-1)^2 - 8(-1) = 1 + 8 = 9 > 0\) (возрастает) 2. \( f'(0) = 0^2 - 8(0) = 0\) (критическая точка) 3. \( f'(0.5) = (0.5)^2 - 8(0.5) = 0.25 - 4 = -3.75 < 0\) (убывает) 4. \( f'(1) = (1)^2 - 8(1) = 1 - 8 = -7 < 0\) (убывает) Таким образом: - Функция возрастает на интервале \((-1; 0)\), - Достигает максимума в точке \( x = 0 \), - Убывает на интервале \((0; 1)\). ### Шаг 4: Найдем значение функции в критических точках и на краях интервала Посчитаем значения функции на границах интервала и в критической точке \( x = 0 \): 1. \( f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - 4(-1)^2 = \frac{-1}{3} - 4 = \frac{-1}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-13}{3} \) 2. \( f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 4(0)^2 = 0 \) 3. \( f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 4(1)^2 = \frac{1}{3} - 4 = \frac{1}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-11}{3} \) ### Шаг 5: Итоги анализа функции - Значение на \( x = -1 \): \( f(-1) = \frac{-13}{3} \) (примерно -4.33) - Значение на \( x = 0 \): \( f(0) = 0 \) - Значение на \( x = 1 \): \( f(1) = \frac{-11}{3} \) (примерно -3.67) ### Вывод Функция \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 \) на интервале \((-1; 1)\) достигает максимума в точке \( x = 0 \) и убывает в пределах данного интервала, начиная с \( f(-1) \approx -4.33 \), достигает значения 0 в \( f(0) \) и затем падает до \( f(1) \approx -3.67 \). Таким образом, график функции показывает убывание после достижения максимума.