Найдите область определения и множество значений функции обратной к данной. игрик равно дробь в числителе три, в знаменателе икс минус четыре

Рассмотрим функцию \( y = \frac{3}{x - 4} \). Нам нужно найти область определения и множество значений функции, а также функции, обратной к данной. ### Шаг 1: Находим область определения функции Область определения функции — это множество значений \( x \), при которых функция определена. В данном случае функция включает дробь, и дробь не может быть равна нулю. Поэтому для нахождения области определения нам нужно, чтобы знаменатель не равнялся нулю: \[ x - 4 \neq 0 \] Решим это уравнение: \[ x \neq 4 \] Таким образом, область определения функции \( y = \frac{3}{x - 4} \) — это все действительные числа, кроме 4. Записываем это в виде интервальной нотации: \[ D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \] ### Шаг 2: Находим множество значений функции Теперь найдем множество значений функции. Из уравнения мы видим, что функция имеет вид дроби, и так как числитель (3) постоянен, а знаменатель (\( x - 4 \)) может принимать любые значения, особое внимание нужно уделить тому, как функцию влияет знак знаменателя. 1. Когда \( x < 4 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y = \frac{3}{0 - 4} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4} \] Значение функции отрицательное. 2. Когда \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ y = \frac{3}{5 - 4} = \frac{3}{1} = 3 \] Значение функции положительное. Таким образом, функция может принимать любые значения, кроме 0: \[ y \neq 0 \] Это происходит потому, что значение функции приближается к нулю, когда \( x \) стремится к 4, но никогда его не принимает. Записываем множество значений: \[ E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \] ### Шаг 3: Находим обратную функцию Чтобы найти обратную функцию, заменим \( y \) на \( x \) и \( x \) на \( y \): \[ x = \frac{3}{y - 4} \] Умножим обе стороны на \( y - 4 \): \[ x(y - 4) = 3 \] Теперь решим относительно \( y \): \[ xy - 4x = 3 \] \[ xy = 3 + 4x \] \[ y = \frac{3 + 4x}{x} \] Таким образом, обратная функция: \[ f^{-1}(x) = \frac{3 + 4x}{x} \] ### Шаг 4: Область определения и множество значений обратной функции Теперь найдем область определения и множество значений обратной функции. #### Область определения: Обратная функция не может иметь нуль в знаменателе: \[ x \neq 0 \] Следовательно, область определения \( D(f^{-1}) \): \[ D(f^{-1}) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \] #### Множество значений: Для обратной функции: - Когда \( x \) стремится к 0, \( y \) стремится к бесконечности (положительной или отрицательной, в зависимости от направления подхода). - Когда \( x \) растет, значения функции принимают все значения, которые будут равны: \[ E(f^{-1}) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \] ### Результаты 1. **Область определения функции \( y = \frac{3}{x - 4} \):** \[ D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \] 2. **Множество значений функции:** \[ E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \] 3. **Обратная функция:** \[ f^{-1}(x) = \frac{3 + 4x}{x} \] 4. **Область определения обратной функции:** \[ D(f^{-1}) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \] 5. **Множество значений обратной функции:** \[ E(f^{-1}) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \] Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задачу! Если есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!