5х(х-3)(х+4)(х-2)≤ 0

Чтобы решить неравенство \( 5x(x - 3)(x + 4)(x - 2) \leq 0 \), давайте сделаем это шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем корни

Для того чтобы решить данное неравенство, сначала найдем корни уравнения:

\[ 5x(x - 3)(x + 4)(x - 2) = 0 \]

Решим его, приравняв каждый множитель к нулю:

1. \( 5x = 0 \) → \( x = 0 \)
2. \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \)
3. \( x + 4 = 0 \) → \( x = -4 \)
4. \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \)

Таким образом, у нас есть корни: \( x = -4, 0, 2, 3 \).

Шаг 2: Построение интервалов

Теперь мы используем корни, чтобы разбить числовую прямую на интервалы:

1. \( (-\infty, -4) \)
2. \( (-4, 0) \)
3. \( (0, 2) \)
4. \( (2, 3) \)
5. \( (3, +\infty) \)

Шаг 3: Определение знака на интервалах

Теперь мы проверим знак выражения \( 5x(x - 3)(x + 4)(x - 2) \) на каждом из интервалов. Мы можем взять любое число из каждого интервала и подставить его в выражение:

1. Для интервала \( (-\infty, -4) \): выберем \( x = -5 \) \[ 5(-5)(-5 - 3)(-5 + 4)(-5 - 2) = 5(-5)(-8)(-1)(-7) > 0 \]

2. Для интервала \( (-4, 0) \): выберем \( x = -1 \) \[ 5(-1)(-1 - 3)(-1 + 4)(-1 - 2) = 5(-1)(-4)(3)(-3) < 0 \]

3. Для интервала \( (0, 2) \): выберем \( x = 1 \) \[ 5(1)(1 - 3)(1 + 4)(1 - 2) = 5(1)(-2)(5)(-1) > 0 \]

4. Для интервала \( (2, 3) \): выберем \( x = 2.5 \) \[ 5(2.5)(2.5 - 3)(2.5 + 4)(2.5 - 2) = 5(2.5)(-0.5)(6.5)(0.5) < 0 \]

5. Для интервала \( (3, +\infty) \): выберем \( x = 4 \) \[ 5(4)(4 - 3)(4 + 4)(4 - 2) = 5(4)(1)(8)(2) > 0 \]

Шаг 4: Соберем результаты

Теперь мы соберем результаты знаков для каждого интервала:

• \( (-\infty, -4) \): \( + \)
• \( (-4, 0) \): \( - \)
• \( (0, 2) \): \( + \)
• \( (2, 3) \): \( - \)
• \( (3, +\infty) \): \( + \)

Шаг 5: Составление промежутков, удовлетворяющих неравенству

Нам нужно, чтобы \( 5x(x - 3)(x + 4)(x - 2) \leq 0 \). То есть мы ищем интервалы, где знак выражения либо отрицателен, либо равен нулю (возможно при корнях).

Корни включаются в ответ, поскольку неравенство содержит знак "равно":

• С интервалов:
  • \( [-4, 0] \)
  • \( [2, 3] \)

Ответ:

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in [-4, 0] \cup [2, 3] \]