(6-2х)(5+х)(х-4)>0

Чтобы решить неравенство \((6-2x)(5+x)(x-4) > 0\), начнем с поиска корней каждого множителя. Это поможет нам понять, в каких интервалах функция будет положительной.

Шаг 1: Найти корни

1. Корень первого множителя:
   \[ 6 - 2x = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \]

2. Корень второго множителя:
   \[ 5 + x = 0 \implies x = -5 \]

3. Корень третьего множителя:
   \[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \]

Теперь у нас есть три корня: \( x = -5, x = 3, x = 4 \).

Шаг 2: Расположить корни на числовой прямой

На числовой прямой корни делят её на четыре интервала:

1. \( (-\infty, -5) \)
2. \( (-5, 3) \)
3. \( (3, 4) \)
4. \( (4, +\infty) \)

Шаг 3: Определить знак функции в каждом интервале

Теперь мы проверим знаки выражения \((6-2x)(5+x)(x-4)\) в каждом из интервалов. Для этого возьмем по одному тестовому значению из каждого интервала:

1. Интервал \((- \infty, -5)\):
   Возьмем, например, \(x = -6\): \[ (6 - 2(-6)) = 6 + 12 = 18 \text{ (положительно)}, \] \[ (5 - 6) = -1 \text{ (отрицательно)}, \] \[ (-6 - 4) = -10 \text{ (отрицательно)}. \] Общая функция: \( (+)(-)(-) = + \) (положительно).

2. Интервал \((-5, 3)\):
   Возьмем \(x = 0\): \[ (6 - 2(0)) = 6 \text{ (положительно)}, \] \[ (5 + 0) = 5 \text{ (положительно)}, \] \[ (0 - 4) = -4 \text{ (отрицательно)}. \] Общая функция: \( (+)(+)(-) = - \) (отрицательно).

3. Интервал \((3, 4)\):
   Возьмем \(x = 3.5\): \[ (6 - 2(3.5)) = 6 - 7 = -1 \text{ (отрицательно)}, \] \[ (5 + 3.5) = 8.5 \text{ (положительно)}, \] \[ (3.5 - 4) = -0.5 \text{ (отрицательно)}. \] Общая функция: \( (-)(+)(-) = + \) (положительно).

4. Интервал \((4, +\infty)\):
   Возьмем \(x = 5\): \[ (6 - 2(5)) = 6 - 10 = -4 \text{ (отрицательно)}, \] \[ (5 + 5) = 10 \text{ (положительно)}, \] \[ (5 - 4) = 1 \text{ (положительно)}. \] Общая функция: \( (-)(+)(+) = - \) (отрицательно).

Шаг 4: Подведение итогов

Теперь подытожим, что мы получили:

• \( (-\infty, -5) \): положительно
• \( (-5, 3) \): отрицательно
• \( (3, 4) \): положительно
• \( (4, +\infty) \): отрицательно

Шаг 5: Определение промежутков, где неравенство выполняется

Положительное значение функции соответствует интервалам:

1. \( (-\infty, -5) \)
2. \( (3, 4) \)

Шаг 6: Запись ответа

Неравенство \((6-2x)(5+x)(x-4) > 0\) выполняется на интервалах:

\[ x \in (-\infty, -5) \cup (3, 4) \]

Вот и всё! Мы решили неравенство, определив его решение в соответствующих интервалах.