(6-2х)(5+х)(х-4)>0

Чтобы решить неравенство \((6-2x)(5+x)(x-4) > 0\), начнем с поиска корней каждого множителя. Это поможет нам понять, в каких интервалах функция будет положительной. ### Шаг 1: Найти корни 1. **Корень первого множителя:** \[ 6 - 2x = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \] 2. **Корень второго множителя:** \[ 5 + x = 0 \implies x = -5 \] 3. **Корень третьего множителя:** \[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \] Теперь у нас есть три корня: \( x = -5, x = 3, x = 4 \). ### Шаг 2: Расположить корни на числовой прямой На числовой прямой корни делят её на четыре интервала: 1. \( (-\infty, -5) \) 2. \( (-5, 3) \) 3. \( (3, 4) \) 4. \( (4, +\infty) \) ### Шаг 3: Определить знак функции в каждом интервале Теперь мы проверим знаки выражения \((6-2x)(5+x)(x-4)\) в каждом из интервалов. Для этого возьмем по одному тестовому значению из каждого интервала: 1. **Интервал \((- \infty, -5)\)**: Возьмем, например, \(x = -6\): \[ (6 - 2(-6)) = 6 + 12 = 18 \text{ (положительно)}, \] \[ (5 - 6) = -1 \text{ (отрицательно)}, \] \[ (-6 - 4) = -10 \text{ (отрицательно)}. \] Общая функция: \( (+)(-)(-) = + \) (положительно). 2. **Интервал \((-5, 3)\)**: Возьмем \(x = 0\): \[ (6 - 2(0)) = 6 \text{ (положительно)}, \] \[ (5 + 0) = 5 \text{ (положительно)}, \] \[ (0 - 4) = -4 \text{ (отрицательно)}. \] Общая функция: \( (+)(+)(-) = - \) (отрицательно). 3. **Интервал \((3, 4)\)**: Возьмем \(x = 3.5\): \[ (6 - 2(3.5)) = 6 - 7 = -1 \text{ (отрицательно)}, \] \[ (5 + 3.5) = 8.5 \text{ (положительно)}, \] \[ (3.5 - 4) = -0.5 \text{ (отрицательно)}. \] Общая функция: \( (-)(+)(-) = + \) (положительно). 4. **Интервал \((4, +\infty)\)**: Возьмем \(x = 5\): \[ (6 - 2(5)) = 6 - 10 = -4 \text{ (отрицательно)}, \] \[ (5 + 5) = 10 \text{ (положительно)}, \] \[ (5 - 4) = 1 \text{ (положительно)}. \] Общая функция: \( (-)(+)(+) = - \) (отрицательно). ### Шаг 4: Подведение итогов Теперь подытожим, что мы получили: - \( (-\infty, -5) \): положительно - \( (-5, 3) \): отрицательно - \( (3, 4) \): положительно - \( (4, +\infty) \): отрицательно ### Шаг 5: Определение промежутков, где неравенство выполняется Положительное значение функции соответствует интервалам: 1. \( (-\infty, -5) \) 2. \( (3, 4) \) ### Шаг 6: Запись ответа Неравенство \((6-2x)(5+x)(x-4) > 0\) выполняется на интервалах: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (3, 4) \] Вот и всё! Мы решили неравенство, определив его решение в соответствующих интервалах.