Чтобы решить уравнение (x^2 + 8x - 13 = 0) с помощью дискриминанта, следуем шагам, которые подробно объяснят процесс.
Шаг 1: Определяем коэффициенты
Уравнение имеет вид (ax^2 + bx + c = 0). В нашем случае:
- (a = 1) (коэффициент при (x^2)),
- (b = 8) (коэффициент при (x)),
- (c = -13) (свободный член).
Шаг 2: Вычисляем дискриминант
Дискриминант (D) для квадратного уравнения рассчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим значения (a), (b) и (c):
[
D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13)
]
Вычислим:
[
D = 64 + 52 = 116
]
Шаг 3: Анализ дискриминанта
Дискриминант равен 116, который больше 0. Это означает, что у уравнения два различных действительных корня.
Шаг 4: Находим корни уравнения
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a}
]
Подставим значения (b) и (D):
[
x_{1,2} = \frac{{-8 \pm \sqrt{116}}}{2 \cdot 1}
]
Теперь вычислим (\sqrt{116}):
[
\sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}
]
Теперь подставим это значение обратно в формулу для корней:
[
x_{1,2} = \frac{{-8 \pm 2\sqrt{29}}}{2}
]
Упростим:
[
x_{1,2} = \frac{{-8}}{2} \pm \frac{{2\sqrt{29}}}{2}
]
[
x_{1,2} = -4 \pm \sqrt{29}
]
Шаг 5: Записываем окончательные корни
Таким образом, корни уравнения (x^2 + 8x - 13 = 0):
[
x_1 = -4 + \sqrt{29}
]
[
x_2 = -4 - \sqrt{29}
]
Ответ
Корни уравнения: (x_1 = -4 + \sqrt{29}) и (x_2 = -4 - \sqrt{29}).
