Найдите квадрат стороны правильного треугольника АВС, если квадрат длины вектора АВ - ВС равен 45

Для решения задачи начнем с того, что нам нужно найти квадрат стороны правильного треугольника \( ABC \), если квадрат длины вектора \( \overline{AB} - \overline{BC} \) равен 45.

1. Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника как \( a \).

2. В правильном треугольнике \( \overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CA} = a \).

3. Теперь найдем, что такое вектор \( \overline{AB} - \overline{BC} \):

   • Поскольку \( \overline{AB} \) и \( \overline{BC} \) - это стороны треугольника, мы можем выразить их через координаты. Предположим, что вершина \( A \) находится в точке \( (0, 0) \), точка \( B \) в \( (a, 0) \) (это будет по оси \( x \)), и точка \( C \) будет в \( \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) \) (это высота правильного треугольника).

4. Теперь найдем векторные представления:

   • \( \overline{AB} = (a - 0, 0 - 0) = (a, 0) \)
   • \( \overline{BC} = \left( \frac{a}{2} - a, \frac{a \sqrt{3}}{2} - 0 \right) = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) \)

5. Теперь найдем разность векторов: \[ \overline{AB} - \overline{BC} = \left(a, 0\right) - \left(-\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right) = \left(a + \frac{a}{2}, 0 - \frac{a \sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2}\right) \]

6. Дальше найдем квадрат длины этого вектора: \[ \left\|\overline{AB} - \overline{BC}\right\|^2 = \left(\frac{3a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2 \] \[ = \frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = \frac{12a^2}{4} = 3a^2 \]

7. По условию задачи, этот квадрат равен 45: \[ 3a^2 = 45 \]

8. Теперь выразим \( a^2 \): \[ a^2 = \frac{45}{3} = 15 \]

Таким образом, квадрат стороны правильного треугольника \( ACB \) равен \( 15 \).