x⁵+15x³-50x. [-4;0] найти точки fmax и fmin

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции \( f(x) = x^5 + 15x^3 - 50x \) на отрезке \([-4, 0]\), нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции

Начнем с нахождения производной функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 + 15x^3 - 50x) = 5x^4 + 45x^2 - 50 \]

Шаг 2: Найдем критические точки

Следующим шагом будет нахождение критических точек, установив производную равной нулю:

\[ 5x^4 + 45x^2 - 50 = 0 \]

Чтобы упростить уравнение, можно разделить его на 5:

\[ x^4 + 9x^2 - 10 = 0 \]

Шаг 3: Подставим переменную

Теперь подставим \( y = x^2 \). Получаем:

\[ y^2 + 9y - 10 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1, b = 9, c = -10 \):

\[ y = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 \pm 11}{2} \]

Это дает два значения:

1. \( y_1 = \frac{2}{2} = 1 \)
2. \( y_2 = \frac{-20}{2} = -10 \) (это значение отклоняем, так как \( y = x^2 \), и оно не может быть отрицательным).

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

\[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]

Шаг 4: Найдем значения функции на границах интервала и в критических точках

Теперь нам нужно оценить функцию \( f(x) \) в критических точках и на границах интервала \([-4, 0]\):

1. \( f(-4) = (-4)^5 + 15 \cdot (-4)^3 - 50 \cdot (-4) = -1024 - 960 + 200 = -1784 \)
2. \( f(-1) = (-1)^5 + 15 \cdot (-1)^3 - 50 \cdot (-1) = -1 - 15 + 50 = 34 \)
3. \( f(0) = 0^5 + 15 \cdot 0^3 - 50 \cdot 0 = 0 \)

Шаг 5: Сравним значения

Теперь сравним значения \( f(-4) = -1784 \), \( f(-1) = 34 \) и \( f(0) = 0 \):

• Максимум на отрезке \([-4, 0]\): \( f(-1) = 34 \) (точка максимума \( x = -1 \))
• Минимум на отрезке \([-4, 0]\): \( f(-4) = -1784 \) (точка минимума \( x = -4 \))

Ответ:

• Локальный максимум: \( f(-1) = 34 \)
• Локальный минимум: \( f(-4) = -1784 \)