X⁵+15x³-50x. [-4;0] найти точки fmax и fmin

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции \( f(x) = x^5 + 15x^3 - 50x \) на отрезке \([-4, 0]\), нам нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найдем производную функции Начнем с нахождения производной функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 + 15x^3 - 50x) = 5x^4 + 45x^2 - 50 \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Следующим шагом будет нахождение критических точек, установив производную равной нулю: \[ 5x^4 + 45x^2 - 50 = 0 \] Чтобы упростить уравнение, можно разделить его на 5: \[ x^4 + 9x^2 - 10 = 0 \] ### Шаг 3: Подставим переменную Теперь подставим \( y = x^2 \). Получаем: \[ y^2 + 9y - 10 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = 9, c = -10 \): \[ y = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 \pm 11}{2} \] Это дает два значения: 1. \( y_1 = \frac{2}{2} = 1 \) 2. \( y_2 = \frac{-20}{2} = -10 \) (это значение отклоняем, так как \( y = x^2 \), и оно не может быть отрицательным). Теперь возвращаемся к переменной \( x \): \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \] ### Шаг 4: Найдем значения функции на границах интервала и в критических точках Теперь нам нужно оценить функцию \( f(x) \) в критических точках и на границах интервала \([-4, 0]\): 1. \( f(-4) = (-4)^5 + 15 \cdot (-4)^3 - 50 \cdot (-4) = -1024 - 960 + 200 = -1784 \) 2. \( f(-1) = (-1)^5 + 15 \cdot (-1)^3 - 50 \cdot (-1) = -1 - 15 + 50 = 34 \) 3. \( f(0) = 0^5 + 15 \cdot 0^3 - 50 \cdot 0 = 0 \) ### Шаг 5: Сравним значения Теперь сравним значения \( f(-4) = -1784 \), \( f(-1) = 34 \) и \( f(0) = 0 \): - **Максимум** на отрезке \([-4, 0]\): \( f(-1) = 34 \) (точка максимума \( x = -1 \)) - **Минимум** на отрезке \([-4, 0]\): \( f(-4) = -1784 \) (точка минимума \( x = -4 \)) ### Ответ: - Локальный максимум: \( f(-1) = 34 \) - Локальный минимум: \( f(-4) = -1784 \)