1/2x⁴-8x²=0 исследовать и построить

Давайте решим задачу, указанную вами: \( \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = 0 \). **Шаг 1: Привести уравнение к простому виду.** Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ x^4 - 16x^2 = 0. \] **Шаг 2: Вынести общий множитель.** Мы видим, что в обоих членах уравнения есть общий множитель \(x^2\): \[ x^2(x^2 - 16) = 0. \] **Шаг 3: Найти корни уравнения.** Теперь у нас два множителя, которые мы можем приравнять к нулю: 1. \(x^2 = 0\) 2. \(x^2 - 16 = 0\) **1. Решим первое уравнение:** \[ x^2 = 0 \implies x = 0. \] **2. Решим второе уравнение:** \[ x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \ \text{или} \ x = -4. \] Таким образом, у нас есть три корня: \[ x = 0, \quad x = 4, \quad x = -4. \] **Шаг 4: Исследование функции.** Теперь исследуем функцию \( f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 \). Для этого найдём производную: \[ f'(x) = 2x^3 - 16x. \] Вынесем общий множитель: \[ f'(x) = 2x(x^2 - 8). \] Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 2x(x^2 - 8) = 0. \] Это уравнение дает следующие значения: 1. \(x = 0\), 2. \(x^2 - 8 = 0 \implies x = \sqrt{8} \quad (x \approx 2.83) \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{8} \quad (x \approx -2.83).\) **Шаг 5: Определим промежутки возрастания и убывания функции.** Исследуем знак производной: 1. На промежутке \( (-\infty, -\sqrt{8}) \) → \( f'(x) > 0 \) (возрастает) 2. На промежутке \( (-\sqrt{8}, 0) \) → \( f'(x) < 0 \) (убывает) 3. На промежутке \( (0, \sqrt{8}) \) → \( f'(x) < 0 \) (убывает) 4. На промежутке \( (\sqrt{8}, +\infty) \) → \( f'(x) > 0 \) (возрастает) **Шаг 6: Анализ экстремумов.** У нас есть: - Минимум в точке \( x = -\sqrt{8} \). - Максимум в точке \( x = \sqrt{8} \). **Шаг 7: Построение графика функции.** На графике можно отметить: - Корни \(x = 0, x = 4, x = -4\). - Минимум \(f(-\sqrt{8})\) и максимум \(f(\sqrt{8})\). График функции будет начинаться из положительной области (при больших отрицательных \(x\) значение функции положительное), пересекаться с осью \(Ox\) в трёх точках и вести себя как парабола вверх, потому что коэффициент при \(x^4\) положительный. Вот и всё решение. Если остались вопросы или нужно углубиться в какую-то часть, дайте знать!