1/2x⁴-8x²=0 исследовать и построить
Давайте решим задачу, указанную вами: \( \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = 0 \).
Шаг 1: Привести уравнение к простому виду.
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ x^4 - 16x^2 = 0. \]
Шаг 2: Вынести общий множитель.
Мы видим, что в обоих членах уравнения есть общий множитель \(x^2\): \[ x^2(x^2 - 16) = 0. \]
Шаг 3: Найти корни уравнения.
Теперь у нас два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:
- \(x^2 = 0\)
- \(x^2 - 16 = 0\)
1. Решим первое уравнение: \[ x^2 = 0 \implies x = 0. \]
2. Решим второе уравнение: \[ x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \ \text{или} \ x = -4. \]
Таким образом, у нас есть три корня: \[ x = 0, \quad x = 4, \quad x = -4. \]
Шаг 4: Исследование функции.
Теперь исследуем функцию \( f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2 \).
Для этого найдём производную: \[ f'(x) = 2x^3 - 16x. \] Вынесем общий множитель: \[ f'(x) = 2x(x^2 - 8). \]
Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 2x(x^2 - 8) = 0. \]
Это уравнение дает следующие значения:
- \(x = 0\),
- \(x^2 - 8 = 0 \implies x = \sqrt{8} \quad (x \approx 2.83) \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{8} \quad (x \approx -2.83).\)
Шаг 5: Определим промежутки возрастания и убывания функции.
Исследуем знак производной:
- На промежутке \( (-\infty, -\sqrt{8}) \) → \( f'(x) > 0 \) (возрастает)
- На промежутке \( (-\sqrt{8}, 0) \) → \( f'(x) < 0 \) (убывает)
- На промежутке \( (0, \sqrt{8}) \) → \( f'(x) < 0 \) (убывает)
- На промежутке \( (\sqrt{8}, +\infty) \) → \( f'(x) > 0 \) (возрастает)
Шаг 6: Анализ экстремумов.
У нас есть:
- Минимум в точке \( x = -\sqrt{8} \).
- Максимум в точке \( x = \sqrt{8} \).
Шаг 7: Построение графика функции.
На графике можно отметить:
- Корни \(x = 0, x = 4, x = -4\).
- Минимум \(f(-\sqrt{8})\) и максимум \(f(\sqrt{8})\).
График функции будет начинаться из положительной области (при больших отрицательных \(x\) значение функции положительное), пересекаться с осью \(Ox\) в трёх точках и вести себя как парабола вверх, потому что коэффициент при \(x^4\) положительный.
Вот и всё решение. Если остались вопросы или нужно углубиться в какую-то часть, дайте знать!
