В прямоугольный треугольник с катетами 4 ед. изм. и 28 ед. изм. вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Вычисли периметр квадрата.

Рассмотрим задачу по нахождению периметра вписанного в прямоугольный треугольник квадрата. У нас есть прямоугольный треугольник с катетами 4 и 28 единиц. **Шаг 1: Нахождение гипотенузы треугольника.** Для начала вычислим гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2}, \] где \( a \) и \( b \) — катеты. В нашем случае: - \( a = 4 \) - \( b = 28 \) Подставим значения: \[ c = \sqrt{4^2 + 28^2} = \sqrt{16 + 784} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}. \] **Шаг 2: Расчет размеров квадрата.** Обозначим сторону квадрата, вписанного в треугольник, за \( x \). Так как квадрат вписан в треугольник с общим углом, его сторона лежит на одном из катетов треугольника. По свойству подобных треугольников, мы знаем, что: \[ \frac{x}{4} = \frac{28 - x}{28}. \] Это выражение говорит о том, что отношение стороны квадрата к одному катету равно отношению оставшейся части другого катета к нему. **Шаг 3: Решение уравнения.** Теперь решим уравнение: 1. Перемножим крест-накрест: \[ x \cdot 28 = 4 \cdot (28 - x). \] 2. Раскроем скобки: \[ 28x = 112 - 4x. \] 3. Переносим все \( x \) на одну сторону: \[ 28x + 4x = 112. \] \[ 32x = 112. \] 4. Теперь найдем \( x \): \[ x = \frac{112}{32} = \frac{7}{2} = 3.5 \, \text{ед. изм.}. \] **Шаг 4: Нахождение периметра квадрата.** Периметр квадрата \( P \) вычисляется по формуле: \[ P = 4 \times x. \] Подставим найденное значение \( x \): \[ P = 4 \times 3.5 = 14 \, \text{ед. изм.}. \] **Ответ:** Периметр квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, равен 14 единиц измерения.