В прямоугольный треугольник с катетами 4 ед. изм. и 28 ед. изм. вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Вычисли периметр квадрата.
Рассмотрим задачу по нахождению периметра вписанного в прямоугольный треугольник квадрата. У нас есть прямоугольный треугольник с катетами 4 и 28 единиц.
Шаг 1: Нахождение гипотенузы треугольника.
Для начала вычислим гипотенузу треугольника по теореме Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2}, \] где \( a \) и \( b \) — катеты.
В нашем случае:
- \( a = 4 \)
- \( b = 28 \)
Подставим значения:
\[ c = \sqrt{4^2 + 28^2} = \sqrt{16 + 784} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}. \]
Шаг 2: Расчет размеров квадрата.
Обозначим сторону квадрата, вписанного в треугольник, за \( x \). Так как квадрат вписан в треугольник с общим углом, его сторона лежит на одном из катетов треугольника.
По свойству подобных треугольников, мы знаем, что:
\[ \frac{x}{4} = \frac{28 - x}{28}. \]
Это выражение говорит о том, что отношение стороны квадрата к одному катету равно отношению оставшейся части другого катета к нему.
Шаг 3: Решение уравнения.
Теперь решим уравнение:
- Перемножим крест-накрест:
\[ x \cdot 28 = 4 \cdot (28 - x). \]
- Раскроем скобки:
\[ 28x = 112 - 4x. \]
- Переносим все \( x \) на одну сторону:
\[ 28x + 4x = 112. \]
\[ 32x = 112. \]
- Теперь найдем \( x \):
\[ x = \frac{112}{32} = \frac{7}{2} = 3.5 \, \text{ед. изм.}. \]
Шаг 4: Нахождение периметра квадрата.
Периметр квадрата \( P \) вычисляется по формуле:
\[ P = 4 \times x. \]
Подставим найденное значение \( x \):
\[ P = 4 \times 3.5 = 14 \, \text{ед. изм.}. \]
Ответ: Периметр квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, равен 14 единиц измерения.
