б) 9 успехам;
232 Докажите, что в серии из 15 испытаний Бернулли число элементарных событий, благоприятствующих 6 успехам, равно числу элементарных событий, благоприятствующих:
a) 9 неудачам;
В н зероят
b) 6 неудачам.
Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой и концепцией испытаний Бернулли.
### Определения
Исследуем серию из 15 испытаний Бернулли. Каждый результат испытания может быть либо успешным (успех), либо неуспешным (неудача). Обозначим количество успехов как \(k\) и количество неудач как \(n - k\), где \(n\) — общее количество испытаний.
### Доказательство для части (a)
#### Условие:
Нужно доказать, что количество элементарных событий, благоприятствующих 6 успехам, равно количеству элементарных событий, благоприятствующих 9 неудачам.
#### Объяснение:
1. **Общее количество испытаний**: \( n = 15 \).
2. **Количество неудач**: если 9 неудач, то:
\[
\text{Количество успехов} = n - \text{Количество неудач} = 15 - 9 = 6.
\]
3. **Комбинаторика**: Мы можем использовать формулу для нахождения числа элементарных событий:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
\]
где \( C(n, k) \) — число способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) испытаний.
4. **Количество способов для 6 успехов**:
\[
C(15, 6) = \frac{15!}{6!(15 - 6)!} = \frac{15!}{6! \cdot 9!}.
\]
5. **Количество способов для 9 неудач**:
Для 9 неудач мы имеем 6 успехов (поскольку всего 15 испытаний):
\[
C(15, 9) = \frac{15!}{9!(15 - 9)!} = \frac{15!}{9! \cdot 6!}.
\]
6. **Сравнение**:
Заметим, что:
\[
C(15, 6) = C(15, 9),
\]
поскольку \( C(n, k) = C(n, n - k) \) — это свойство биномиальных коэффициентов.
#### Следовательно, доказано, что количество элементарных событий, благоприятных 6 успехам, равно количеству элементарных событий, благоприятствующих 9 неудачам.
### Доказательство для части (b)
#### Условие:
Нужно доказать, что количество элементарных событий, благоприятствующих 6 успехам, равно количеству элементарных событий, благоприятствующих 6 неудачам.
#### Объяснение:
1. **Количество неудач**: Если 6 неудач, то:
\[
\text{Количество успехов} = n - \text{Количество неудач} = 15 - 6 = 9.
\]
2. **Количество способов для 6 успехов**:
\[
C(15, 6) = \frac{15!}{6! \cdot 9!}.
\]
3. **Количество способов для 6 неудач**:
\[
C(15, 6) = \frac{15!}{6! \cdot 9!}.
\]
4. **Заключение**: Количество элементарных событий, благоприятствующих 6 успехам, равняется количеству элементарных событий, благоприятствующих 6 неудачам, поскольку при 6 неудачах остаются 9 успехов и величины по формуле комбинаторики эквивалентны.
### Итог:
В обеих частях задачи, количество благоприятных элементарных событий для разных случаев совпадает, что и требовалось доказать.
