Давайте решим задачу поэтапно.
Шаг 1: Обозначим переменные
Обозначим скорость велосипедиста как ( x ) км/ч. Тогда скорость автомобилиста будет равна ( x + 70 ) км/ч, так как он проезжает на 70 км больше за час.
Шаг 2: Определим время в пути
Общее расстояние между пунктами А и В составляет 30 км. Теперь определим время, которое уделяют каждый из участников:
Время, которое тратит велосипедист:
[
t_{\text{велосипедист}} = \frac{30}{x}
]
Время, которое тратит автомобилист:
[
t_{\text{автомобилист}} = \frac{30}{x + 70}
]
Шаг 3: Условие задачи
Согласно условию, велосипедист прибыл в пункт В на 1 час 10 минут (что равно 1,1667 часа) позже автомобилиста. Запишем это в виде уравнения:
[
t_{\text{велосипедист}} = t_{\text{автомобилист}} + 1,1667
]
Теперь подставим выражения для времени в уравнение:
[
\frac{30}{x} = \frac{30}{x + 70} + 1,1667
]
Шаг 4: Устранение дробей
Умножим все части уравнения на ( x(x + 70) ) для устранения дробей:
[
30(x + 70) = 30x + 1,1667x(x + 70)
]
Шаг 5: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
[
30x + 2100 = 30x + 1,1667x^2 + 81,667x
]
Теперь упростим уравнение:
[
2100 = 1,1667x^2 + 81,667x
]
Шаг 6: Приведение к стандартному виду
Переносим всё в одну сторону:
[
1,1667x^2 + 81,667x - 2100 = 0
]
Шаг 7: Используем дискриминант
Теперь найдем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (81,667)^2 - 4 \cdot 1,1667 \cdot (-2100)
]
Рассчитаем каждую часть:
[
D = 6676,38 + 9800,76 = 16477,14
]
Шаг 8: Найдем корни уравнения
Найдем корни уравнения по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Где ( a = 1,1667, b = 81,667 ).
Подставим значения:
[
x = \frac{-81,667 \pm \sqrt{16477,14}}{2 \cdot 1,1667}
]
Шаг 9: Вычислим значение
Сначала найдем ( \sqrt{16477,14} \approx 128,28 ):
[
x = \frac{-81,667 \pm 128,28}{2,3334}
]
Теперь решим:
- ( x \approx \frac{46,613}{2,3334} \approx 19,99 ) (положительное)
- ( x \approx \frac{-209,947}{2,3334} ) (отрицательное, не учитываем)
Шаг 10: Полученный результат
Таким образом, скорость велосипедиста составляет примерно 20 км/ч.
Ответ
Скорость велосипедиста: ( \boxed{20} ) км/ч.
