Реши

Чтобы найти площадь четырехугольника на координатной сетке, можно использовать метод простого вычисления площадей, либо формулу для произвольного четырехугольника с известными координатами его вершин (формула площади Гаусса).

Давай решим задачу, используя метод разбиения на простые фигуры:

1. Разбиение: Разобьем четырехугольник \(ABCD\) на два треугольника \(ABD\) и \(BCD\).

2. Координаты вершин:

   • \(A (1, 3)\)
   • \(B (5, 1)\)
   • \(C (6, 6)\)
   • \(D (2, 4)\)

3. Площадь треугольника \(ABD\):

   • Используем формулу для площади треугольника по координатам вершин: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \]
   • Подставляем координаты \(A (1, 3)\), \(B (5, 1)\), \(D (2, 4)\): \[ S = \frac{1}{2} \left| 1(1-4) + 5(4-3) + 2(3-1) \right| = \frac{1}{2} \left| 1(-3) + 5(1) + 2(2) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -3 + 5 + 4 \right| = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \]

4. Площадь треугольника \(BCD\):

   • Используем те же координаты: \[ S = \frac{1}{2} \left| 5(6-4) + 6(4-1) + 2(1-6) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 5\times2 + 6\times3 - 2\times5 \right| = \frac{1}{2} \left| 10 + 18 - 10 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \]

5. Общая площадь четырехугольника \(ABCD\) = площадь треугольника \(ABD\) + площадь треугольника \(BCD\): \[ S = 3 + 9 = 12 \]

Ответ: площадь четырехугольника \(ABCD\) равна 12 квадратных сантиметров.