Для решения задачи будем использовать свойства прямоугольного треугольника. У нас есть катет ( АК = 4\sqrt{3} ) м и угол ( A = 30^\circ ). Обозначим второй катет как ( КО ) и гипотенузу как ( DA ).
Шаг 1: Понять соотношения в треугольнике
В прямоугольном треугольнике, где один из углов составляет ( 30^\circ ), выполняются следующие соотношения:
- Противолежащий катет (катет, противолежащий углу в 30°) равен половине гипотенузы.
- Прилежащий катет (катет, смежный с углом в 30°) у нас будет ( АК ).
По теореме синусов для угла в ( 30^\circ ) можно также сказать:
- ( КО ) - это противолежащий катет, который можно выразить как ( DA/2 ) (гипотенуза / 2).
- Для ( DA ) мы также можем использовать соотношения:
[
\sin(30^\circ) = \frac{КО}{DA}
]
Где ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ).
Шаг 2: Найти гипотенузу
По определению углов и величин в треугольнике, мы можем записать:
- Для прилежащего катета ( АК ):
[
\cos(30^\circ) = \frac{АК}{DA}
]
Где ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Теперь подставим известные значения:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{DA}
]
Умножим обе стороны на ( DA ):
[
\sqrt{3} \cdot DA = 8\sqrt{3}
]
Теперь разделим обе стороны на ( \sqrt{3} ):
[
DA = 8 \text{ м}
]
Шаг 3: Найти второй катет
Теперь, когда мы нашли гипотенузу ( DA ), можем найти второй катет ( КО ):
Так как ( КО ) является противолежащим катетом:
[
КО = DA \cdot \sin(30^\circ)
]
[
KO = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ м}
]
Итог
Таким образом, мы получили:
- Гипотенуза ( DA = 8 \text{ м} )
- Второй катет ( КО = 4 \text{ м} )
Ответ:
( КО = 4 \text{ м}, DA = 8 \text{ м} )
