Вычисли второй катет и гипотенузу прямоугольного треугольника если катет АК=4√3м и угол А=30°. КО=? DA=?
Для решения задачи будем использовать свойства прямоугольного треугольника. У нас есть катет \( АК = 4\sqrt{3} \) м и угол \( A = 30^\circ \). Обозначим второй катет как \( КО \) и гипотенузу как \( DA \).
Шаг 1: Понять соотношения в треугольнике
В прямоугольном треугольнике, где один из углов составляет \( 30^\circ \), выполняются следующие соотношения:
- Противолежащий катет (катет, противолежащий углу в 30°) равен половине гипотенузы.
- Прилежащий катет (катет, смежный с углом в 30°) у нас будет \( АК \).
По теореме синусов для угла в \( 30^\circ \) можно также сказать:
- \( КО \) - это противолежащий катет, который можно выразить как \( DA/2 \) (гипотенуза / 2).
- Для \( DA \) мы также можем использовать соотношения:
\[ \sin(30^\circ) = \frac{КО}{DA} \]
Где \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
Шаг 2: Найти гипотенузу
По определению углов и величин в треугольнике, мы можем записать:
- Для прилежащего катета \( АК \): \[ \cos(30^\circ) = \frac{АК}{DA} \] Где \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Теперь подставим известные значения:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{DA} \]
Умножим обе стороны на \( DA \):
\[ \sqrt{3} \cdot DA = 8\sqrt{3} \]
Теперь разделим обе стороны на \( \sqrt{3} \):
\[ DA = 8 \text{ м} \]
Шаг 3: Найти второй катет
Теперь, когда мы нашли гипотенузу \( DA \), можем найти второй катет \( КО \):
Так как \( КО \) является противолежащим катетом:
\[ КО = DA \cdot \sin(30^\circ) \] \[ KO = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ м} \]
Итог
Таким образом, мы получили:
- Гипотенуза \( DA = 8 \text{ м} \)
- Второй катет \( КО = 4 \text{ м} \)
Ответ:
\( КО = 4 \text{ м}, DA = 8 \text{ м} \)
