периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона – 5. найдите синус угла, образованного боковыми сторонами
Для решения задачи нужно разобраться с параметрами равнобедренного треугольника и формулами, которые нам понадобятся.
Данные задачи:
- Периметр равнобедренного треугольника (P) = 16.
- Боковая сторона (a) = 5.
Найдём основание треугольника: В равнобедренном треугольнике две стороны равны, а одна — основание. Так как периметр равен сумме всех сторон, можем записать: \[ P = 2a + b, \] где \( b \) — основание треугольника. Подставим известные значения: \[ 16 = 2 \cdot 5 + b. \] Упрощаем уравнение: \[ 16 = 10 + b \implies b = 16 - 10 = 6. \] Таким образом, основание \( b = 6 \).
Найдём углы треугольника: Позначим угол, образованный двумя боковыми сторонами, как \( \alpha \). Теперь можно использовать закон косинусов для нахождения \( \sin \alpha \): \[ c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha), \] где \( c \) — основание, и \( a \) — боковые стороны. Подставляем значения: \[ 6^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(\alpha). \] Упрощаем: \[ 36 = 25 + 25 - 50 \cdot \cos(\alpha). \] \[ 36 = 50 - 50 \cdot \cos(\alpha). \] Переносим 50 на другую сторону: \[ -14 = -50 \cdot \cos(\alpha) \implies \cos(\alpha) = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}. \]
Используем соотношение между синусом и косинусом: Для нахождения синуса угла используем формулу: \[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1. \] Подставим найденное значение \( \cos(\alpha) \): \[ \sin^2(\alpha) + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1. \] Вычисляем: \[ \sin^2(\alpha) + \frac{49}{625} = 1 \implies \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}. \] Отсюда находим синус: \[ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}. \]
Таким образом, синус угла, образованного боковыми сторонами равнобедренного треугольника, равен \( \frac{24}{25} \).
