В крупном отделе компании 5 человек получают зарплату 50 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 60 тыс.р., 6 человек получают по 100 тыс.р, и 2 человека – по 120 тыс.р.
Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 200 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.
Для решения данной задачи давайте пройдемся шаг за шагом.
1. **Определим исходные условия.**
- У нас есть 5 человек, получающих 50 тыс. р. в месяц.
- 10 человек получают 60 тыс. р. в месяц.
- 6 человек получают 100 тыс. р. в месяц.
- 2 человека получают 120 тыс. р. в месяц.
Обозначим количество сотрудников, получающих каждую сумму, так:
- \(n_1 = 5\) (кто получает по 50 тыс. р.)
- \(n_2 = 10\) (кто получает по 60 тыс. р.)
- \(n_3 = 6\) (кто получает по 100 тыс. р.)
- \(n_4 = 2\) (кто получает по 120 тыс. р.)
Общее количество сотрудников:
\[
N = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 5 + 10 + 6 + 2 = 23
\]
2. **Расчет текущих зарплат сотрудников.**
- 5 человек по 50 тыс. р.: \(5 \times 50 = 250\) тыс. р.
- 10 человек по 60 тыс. р.: \(10 \times 60 = 600\) тыс. р.
- 6 человек по 100 тыс. р.: \(6 \times 100 = 600\) тыс. р.
- 2 человека по 120 тыс. р.: \(2 \times 120 = 240\) тыс. р.
Общая зарплата без премий:
\[
250 + 600 + 600 + 240 = 1690 \text{ (тыс. р.)}
\]
3. **Добавим премии.**
У нас есть 200 тыс. р. на премирование. Премии будут распределены так, чтобы максимизировать медиану выплат.
4. **Определение медианы.**
Медиана в данном случае — это значение, которое находится в середине отсортированного ряда зарплат. Поскольку у нас 23 человека, медиана будет 12-й по величине зарплатой (порядок — от меньшего к большему).
5. **Разберем, какую зарплату мы можем увеличить.**
Исходные зарплаты упорядочим:
\[
50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120
\]
Смотрим на 12-ю зарплату, которая равна 60 тыс. р. В наших силах эквивалентно поднять несколько сотрудников над этой планкой, чтобы медиана поднялась.
6. **Максимизация медианы.**
Чтобы увеличить медийну, давайте рассмотрим последовательные попытки поднять зарплаты сотрудников, начиная с тех, кто получает меньше.
- Если мы добавим 20 тыс. р. на каждого из 10 сотрудников, получающих 60 тыс. р., их зарплата станет 80 тыс. р. Общее премирование: \(10 \times 20 = 200\) тыс. р.
- Теперь зарплаты будут:
\[
50, 50, 50, 50, 50, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120
\]
После этого 12-й элемент (медиана) становится 80 тыс. р.
Таким образом, максимальная медиана с учетом премирования будет равна **80 тыс. р.**
