(x+5)*(x-2)*(x^2-3x-10)

Решим задачу, которая заключается в умножении трех полиномов: \((x+5)(x-2)(x^2-3x-10)\).

Шаг 1: Упрощение до двух множителей

Сначала упростим произведение двух первых множителей: \((x+5)(x-2)\).

Используем формулу распределения (или метод FOIL):

\[ (x+5)(x-2) = x \cdot x + x \cdot (-2) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-2) \]

Теперь рассчитываем каждое из произведений:

1. \(x \cdot x = x^2\)
2. \(x \cdot (-2) = -2x\)
3. \(5 \cdot x = 5x\)
4. \(5 \cdot (-2) = -10\)

Теперь сложим все эти результаты:

\[ x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10 \]

Теперь у нас есть более простое выражение:

\[ (x+5)(x-2) = x^2 + 3x - 10 \]

Шаг 2: Умножение на третий множитель

Теперь умножаем результат на третий множитель, \(x^2 + 3x - 10\), что мы уже имеем, и \(x^2 - 3x - 10\):

\[ (x^2 + 3x - 10)(x^2 - 3x - 10) \]

Можно использовать распределение снова.

1. Умножаем \(x^2\) на каждый множитель второго полинома:
   • \(x^2 \cdot x^2 = x^4\)
   • \(x^2 \cdot (-3x) = -3x^3\)
   • \(x^2 \cdot (-10) = -10x^2\)

Итак, от \(x^2\) мы получили: \[ x^4 - 3x^3 - 10x^2 \]

2. Умножаем \(3x\) на каждый множитель второго полинома:
   • \(3x \cdot x^2 = 3x^3\)
   • \(3x \cdot (-3x) = -9x^2\)
   • \(3x \cdot (-10) = -30x\)

Итак, от \(3x\) мы получили: \[ 3x^3 - 9x^2 - 30x \]

3. Умножаем \(-10\) на каждый множитель:
   • \(-10 \cdot x^2 = -10x^2\)
   • \(-10 \cdot (-3x) = 30x\)
   • \(-10 \cdot (-10) = 100\)

Итак, от \(-10\) мы получили: \[ -10x^2 + 30x + 100 \]

Шаг 3: Сложение всех частичных результатов

Теперь сложим все результаты:

\[ (x^4 - 3x^3 - 10x^2) + (3x^3 - 9x^2 - 30x) + (-10x^2 + 30x + 100) \]

Соберем подобные слагаемые:

• \(x^4\): Есть только одно \(x^4\)
• \(-3x^3 + 3x^3 = 0\): Кубические члены взаимно уничтожаются
• Слагаемые \(x^2\):
  • \(-10x^2 - 9x^2 - 10x^2 = -29x^2\)
• Слагаемые \(x\):
  • \(-30x + 30x = 0\): Линейные члены тоже взаимно уничтожаются
• Константа: \(100\)

Итак, итоговое упрощенное выражение:

\[ x^4 - 29x^2 + 100 \]

Итоговый ответ

Таким образом, произведение данных полиномов можно записать как:

\[ (x + 5)(x - 2)(x^2 - 3x - 10) = x^4 - 29x^2 + 100 \]

Если у вас остались вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!