реши

Чтобы найти неизвестные величины \( y_0 \) и \( k \), воспользуемся формулой касательной линии.

Дана функция:

\[ f(x) = e^x + \ln(1 + 5x) + 3 \]

1. Определение \( y_0 \)

Значение \( y_0 \) — это значение функции в точке \( x_0 \):

\[ y_0 = f(x_0) \]

Подставим \( x_0 = 0 \):

\[ f(0) = e^0 + \ln(1 + 5 \cdot 0) + 3 = 1 + \ln(1) + 3 = 1 + 0 + 3 = 4 \]

Таким образом, \( y_0 = 4 \).

2. Определение \( k \)

Коэффициент \( k \) — это производная функции в точке \( x_0 \):

\[ k = f'(x_0) \]

Найдем производную \( f(x) \):

\[ f(x) = e^x + \ln(1 + 5x) + 3 \]

Производная \( e^x \) равна \( e^x \).

Производная \( \ln(1 + 5x) \) по правилу берется как:

\[ \frac{d}{dx} \ln(1 + 5x) = \frac{1}{1 + 5x} \cdot 5 = \frac{5}{1 + 5x} \]

Производная константы \( 3 \) равна \( 0 \).

Итак, производная функции:

\[ f'(x) = e^x + \frac{5}{1 + 5x} \]

Подставим \( x_0 = 0 \):

\[ f'(0) = e^0 + \frac{5}{1 + 5 \cdot 0} = 1 + \frac{5}{1} = 1 + 5 = 6 \]

Таким образом, \( k = 6 \).

Ответ:

• \( y_0 = 4 \)
• \( k = 6 \)