Чтобы найти неизвестные величины ( y_0 ) и ( k ), воспользуемся формулой касательной линии.
Дана функция:
[
f(x) = e^x + \ln(1 + 5x) + 3
]
1. Определение ( y_0 )
Значение ( y_0 ) — это значение функции в точке ( x_0 ):
[
y_0 = f(x_0)
]
Подставим ( x_0 = 0 ):
[
f(0) = e^0 + \ln(1 + 5 \cdot 0) + 3 = 1 + \ln(1) + 3 = 1 + 0 + 3 = 4
]
Таким образом, ( y_0 = 4 ).
2. Определение ( k )
Коэффициент ( k ) — это производная функции в точке ( x_0 ):
[
k = f'(x_0)
]
Найдем производную ( f(x) ):
[
f(x) = e^x + \ln(1 + 5x) + 3
]
Производная ( e^x ) равна ( e^x ).
Производная ( \ln(1 + 5x) ) по правилу берется как:
[
\frac{d}{dx} \ln(1 + 5x) = \frac{1}{1 + 5x} \cdot 5 = \frac{5}{1 + 5x}
]
Производная константы ( 3 ) равна ( 0 ).
Итак, производная функции:
[
f'(x) = e^x + \frac{5}{1 + 5x}
]
Подставим ( x_0 = 0 ):
[
f'(0) = e^0 + \frac{5}{1 + 5 \cdot 0} = 1 + \frac{5}{1} = 1 + 5 = 6
]
Таким образом, ( k = 6 ).
Ответ:
