реши

Чтобы найти значение производной функции \( y = \operatorname{arctg}^2(\operatorname{ctg} x) \) в точке \( x_0 = -\frac{\pi}{6} \), следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найти производную функции

Функция \( y = \operatorname{arctg}^2(\operatorname{ctg} x) \) состоит из двух вложенных функций: \( u = \operatorname{ctg} x \) и \( y = \operatorname{arctg}^2(u) \).

1.1: Найти производную внутренней функции \( u = \operatorname{ctg} x \)

Производная котангенса: \[ u' = -\csc^2 x \]

1.2: Найти производную внешней функции \( y = \operatorname{arctg}^2(u) \)

Пусть \( v = \operatorname{arctg}(u) \), тогда \( y = v^2 \). Производная: \[ \frac{d}{du}(v^2) = 2v \cdot v' = 2\operatorname{arctg}(u) \cdot \frac{1}{1+u^2} \]

Шаг 2: Применить правило цепочки

Общая производная функции \( y \) будет: \[ y' = \frac{d}{dx}(\operatorname{arctg}^2(\operatorname{ctg} x)) = 2\operatorname{arctg}(\operatorname{ctg} x) \cdot \frac{1}{1+(\operatorname{ctg} x)^2} \cdot (-\csc^2 x) \]

Используем идентичность: \((\operatorname{ctg} x)^2 + 1 = \csc^2 x\), упрощаем: \[ y' = 2\operatorname{arctg}(\operatorname{ctg} x) \cdot \frac{1}{\csc^2 x} \cdot (-\csc^2 x) = -2\operatorname{arctg}(\operatorname{ctg} x) \]

Шаг 3: Подставить значение точки \( x_0 = -\frac{\pi}{6} \)

Вычислим \(\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)\): \[ \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\cos(-\frac{\pi}{6})}{\sin(-\frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3} \]

Теперь найдем \(\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})\). Значение арктангенса \(-\sqrt{3}\) известно и равно \(-\frac{\pi}{3}\).

Подставляем в производную: \[ y'\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} \]

Ответ:

\[ \frac{2\pi}{3} \]