Для того чтобы найти производную функции ( f(x) = \frac{1}{12} x^4 - \frac{5}{6} x^3 + 2 x^2 ), будем использовать правила дифференцирования.
Шаг 1: Напишем функцию
Функция выглядит так:
[
f(x) = \frac{1}{12} x^4 - \frac{5}{6} x^3 + 2 x^2
]
Шаг 2: Применим правило дифференцирования
Правило дифференцирования для поточной функции выглядит так:
[
\frac{d}{dx}(C \cdot x^n) = C \cdot n \cdot x^{n-1}
]
где ( C ) - константа, ( n ) - степень.
Шаг 3: Находим производные каждого члена
Для первого члена ( \frac{1}{12} x^4 ):
[
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{12} x^4\right) = \frac{1}{12} \cdot 4 \cdot x^{4-1} = \frac{4}{12} x^3 = \frac{1}{3} x^3
]
Для второго члена ( -\frac{5}{6} x^3 ):
[
\frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{6} x^3\right) = -\frac{5}{6} \cdot 3 \cdot x^{3-1} = -\frac{15}{6} x^2 = -\frac{5}{2} x^2
]
Для третьего члена ( 2 x^2 ):
[
\frac{d}{dx}(2 x^2) = 2 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 4 x
]
Шаг 4: Объединим все производные
Теперь объединим полученные производные:
[
f'(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{5}{2} x^2 + 4 x
]
Ответ
Таким образом, производная функции ( f(x) = \frac{1}{12} x^4 - \frac{5}{6} x^3 + 2 x^2 ) равна:
[
f'(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{5}{2} x^2 + 4 x
]
Если вам нужно более глубокое объяснение какого-то шага или дополнительная информация, пожалуйста, дайте знать!
