Реши мне все эти задачи по геометрии,7 класс

Давайте разберем каждую из задач по порядку.

Задача 1

Условие: В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(BC\) равны, внешний угол при вершине \(C\) равен 130°. Найдите углы треугольника \(ABC\).

Решение:

1. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае угол \(C\) равен \(130^\circ\).
2. Так как \(AB = BC\), треугольник равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle A = \angle B\).
3. Следовательно, \(\angle A + \angle B = 130^\circ\).
4. Так как углы равны, обозначим их через \(\alpha\), то есть \(2\alpha = 130^\circ\).
5. Получаем: \(\alpha = 65^\circ\).
6. Внутренний угол \(\angle C\) находится из условия, что сумма углов любого треугольника \(180^\circ\):
   \[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ. \]

Ответ: Углы треугольника \(ABC\): \(\angle A = 65^\circ\), \(\angle B = 65^\circ\), \(\angle C = 50^\circ\).

Задача 2

Условие: Один из внутренних углов треугольника в три раза больше другого, а внешний угол, смежный с третьим внутренним углом, равен 100°. Найдите все внутренние углы треугольника.

Решение:

1. Пусть угол \(A\) будет в три раза больше угла \(B\). Тогда \(\angle A = 3x\) и \(\angle B = x\).
2. Внешний угол, смежный с третьим углом (\(\angle C\)), равен 100°. Следовательно, \(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).
3. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):
   \[ 3x + x + 80^\circ = 180^\circ. \]
4. Упростим:
   \[ 4x + 80^\circ = 180^\circ \\\ 4x = 100^\circ \\\ x = 25^\circ. \]
5. Теперь находим углы:
   \(\angle A = 3x = 75^\circ\),
   \(\angle B = x = 25^\circ\),
   \(\angle C = 80^\circ\).

Ответ: Углы треугольника: \(\angle A = 75^\circ\), \(\angle B = 25^\circ\), \(\angle C = 80^\circ\).

Задача 3

Условие: Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\). Биссектрисы при основаниях пересекаются в точке \(D\). \(\angle D = 100^\circ\). Найдите величину угла \(ADB\).

Решение:

1. Пусть \(\angle A = \angle B = x\) (так как треугольник равнобедренный).
2. Тогда \(\angle C = 180^\circ - 2x\).
3. Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) делят их пополам, соответственно, в точке \(D\) образуется \(\angle ADB = \angle D = 100^\circ\).
4. Так как треугольник \(ADB\) прямоугольный, \(ADB\) сумма углов:
   \[ \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + 100^\circ = 180^\circ. \]
5. Получаем:
   \[ x + 100^\circ = 180^\circ \\\ x = 80^\circ. \]
6. Проверяем: \(\angle C = 180^\circ - 2x = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ\).

Ответ: Угол \(\angle ADB = 100^\circ\).