реши
Чтобы найти матрицу \( A' \) в новом базисе \( \mathcal{B}' = \langle e'_1, e'_2, e'_3 \rangle \), сначала выразим новые базисные векторы через старые и найдем переходную матрицу \( P \) от старого базиса \( \mathcal{B} = \langle e_1, e_2, e_3 \rangle \) к новому базису \( \mathcal{B}' \).
Новый базис и выражение в старом базисе:
- \( e'_1 = 2e_1 + 3e_2 + e_3 \)
- \( e'_2 = 3e_1 + 4e_2 + e_3 \)
- \( e'_3 = e_1 + 2e_2 + 2e_3 \)
Переходная матрица \( P \):
Переходная матрица \( P \) составляется из координат новых базисных векторов в старом базисе:
\[ P = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \]
Обратная матрица \( P^{-1} \):
Сначала найдем обратную матрицу \( P^{-1} \).
\[ P = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \]
Рассчитаем детерминант \( P \):
\[ \text{det}(P) = 2(4 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - 3(3 \cdot 2 - 2 \cdot 1) + 1(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1) \] \[ = 2(8 - 2) - 3(6 - 2) + 1(3 - 4) \] \[ = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \] \[ = 12 - 12 - 1 = -1 \]
Обратная матрица \( P^{-1} \) равна \(\frac{1}{\text{det}(P)}\) умноженной на алгебраические дополнения и транспонированную:
\[ P^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} (4 \times 2 - 2 \times 1) & -(3 \times 2 - 2 \times 1) & (3 \times 1 - 4 \times 1) \\ -(3 \times 2 - 2 \times 1) & (2 \times 2 - 1 \times 1) & -(2 \times 1 - 3 \times 1) \\ (3 \times 1 - 4 \times 1) & -(2 \times 1 - 3 \times 1) & (2 \times 4 - 3 \times 3) \\ \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 6 & -4 & -1 \\ -4 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \]
Найдём матрицу \( A' \):
Матрица \( A' \) в новом базисе рассчитывается по формуле: \[ A' = P^{-1} A P \]
где \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \\ \end{pmatrix} \]
Сначала умножим \( A \) и \( P \):
\[ AP = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 5 & 7 & 7 \\ -3 & -2 & -3 \\ \end{pmatrix} \]
Теперь умножим результат на \( P^{-1} \):
\[ A' = P^{-1} (AP) = \begin{pmatrix} 6 & -4 & -1 \\ -4 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 5 & 7 & 7 \\ -3 & -2 & -3 \\ \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 6 \times 3 + (-4) \times 5 + (-1) \times (-3) & 6 \times 0 + (-4) \times 7 + (-1) \times (-2) & 6 \times 4 + (-4) \times 7 + (-1) \times (-3) \\ -4 \times 3 + 3 \times 5 + 1 \times (-3) & -4 \times 0 + 3 \times 7 + 1 \times (-2) & -4 \times 4 + 3 \times 7 + 1 \times (-3) \\ -1 \times 3 + 1 \times 5 + (-1) \times (-3) & -1 \times 0 + 1 \times 7 + (-1) \times (-2) & -1 \times 4 + 1 \times 7 + (-1) \times (-3) \\ \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 18 + (-20) + 3 & 0 + (-28) + 2 & 24 + (-28) + 3 \\ -12 + 15 - 3 & 0 + 21 - 2 & -16 + 21 - 3 \\ -3 + 5 + 3 & 0 + 7 + 2 & -4 + 7 + 3 \\ \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 1 & -26 & -1 \\ 0 & 19 & 2 \\ 5 & 9 & 6 \\ \end{pmatrix} \]
Таким образом, матрица \( A' \) в базисе \( \mathcal{B}' \) равна:
\[ A' = \begin{pmatrix} 1 & -26 & -1 \\ 0 & 19 & 2 \\ 5 & 9 & 6 \\ \end{pmatrix} \]
