Сколько узлов клетчатой бумаги лежит на расстоянии меньше эм двух клеток от данного её узла

На клетчатой бумаге каждый узел (или точка) можно представить как координаты в системе координат (x, y), где x и y – целые числа. Если мы рассматриваем узел, например, (0, 0), то радиус r = 2 клетки означает, что мы ищем все узлы внутри или на окружности радиусом 2 единицы. Узлы, находящиеся на расстоянии менее 2 клеток от узла (0, 0), будут попадать в круг с радиусом 2. Формально, мы ищем все такие узлы (x, y), которые удовлетворяют неравенству: \[ \sqrt{x^2 + y^2} < 2 \] Чтобы упрощать вычисления, мы можем возвести обе стороны в квадрат: \[ x^2 + y^2 < 4 \] Теперь рассмотрим все пары целых чисел (x, y), которые удовлетворяют этому неравенству. Переберём значения x и y от -2 до 2 (включительно), так как при большей модульной величине x или y неравенство не будет выполняться: - Для x = 0: y может принимать значения -1, 0, 1 (3 узла). - Для x = 1 и x = -1: y может принимать значения -1, 0, 1 (по 3 узла для каждого x). - Для x = 2 и x = -2: y может принимать только значение 0 (по 1 узлу для каждого x). Теперь мы можем посчитать общее количество узлов, которые удовлетворяют условию: - При x = 0: 3 узла (0, -1), (0, 0), (0, 1) - При x = 1: 3 узла (1, -1), (1, 0), (1, 1) - При x = -1: 3 узла (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1) - При x = 2: 1 узел (2, 0) - При x = -2: 1 узел (-2, 0) Теперь суммируем: 3 (x=0) + 3 (x=1) + 3 (x=-1) + 1 (x=2) + 1 (x=-2) = 11 узлов. Таким образом, всего на клетчатой бумаге **11 узлов** лежит на расстоянии меньше 2 клеток от данного узла.