Давайте по очереди разберем каждую из ваших задач по геометрической прогрессии.
Задача 1:
Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b₇), если b₁ = –32 и q = 1/2.
Геометрическая прогрессия описывается формулой для n-го члена:
[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]
Где:
- ( b_n ) — n-й член прогрессии,
- ( b_1 ) — первый член прогрессии,
- ( q ) — знаменатель прогрессии (коэффициент умножения),
- ( n ) — номер члена прогрессии.
В нашем случае:
- ( b_1 = -32 )
- ( q = \frac{1}{2} )
- Мы ищем ( b_7 ).
Подставим значения в формулу:
[ b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} ]
[ b_7 = -32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6} ]
Теперь вычислим ( \left(\frac{1}{2}\right)^{6} ):
[ \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{1}{64} ]
Теперь подставим это значение обратно:
[ b_7 = -32 \cdot \frac{1}{64} ]
[ b_7 = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2} ]
Ответ: ( b_7 = -\frac{1}{2} )
Задача 2:
Первый член геометрической прогрессии (b₁) равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
[ S_n = \frac{b_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q} ]
где:
- ( S_n ) — сумма первых n членов,
- ( n ) — количество членов,
- ( b_1 ) — первый член,
- ( q ) — знаменатель.
В нашем случае:
- ( b_1 = 2 )
- ( q = 3 )
- ( n = 6 )
Подставляем значения в формулу:
[ S_6 = \frac{2 \cdot (1 - 3^6)}{1 - 3} ]
Вычислим ( 3^6 ):
[ 3^6 = 729 ]
Теперь подставляем это значение:
[ S_6 = \frac{2 \cdot (1 - 729)}{1 - 3} ]
[ S_6 = \frac{2 \cdot (-728)}{-2} ]
[ S_6 = 728 ]
Ответ: ( S_6 = 728 )
Задача 3:
Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (bₙ) с положительными членами, зная, что b₂ = 0,04 и b₄ = 0,16.
Разберёмся сначала с членами прогрессии. У нас есть:
- ( b_2 = b_1 \cdot q = 0,04 )
- ( b_4 = b_1 \cdot q^3 = 0,16 )
Чтобы найти ( q ), мы можем составить отношение:
[ \frac{b_4}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = q^2 ]
[ \frac{0,16}{0,04} = 4 = q^2 ]
Таким образом, ( q = 2 ) (выбираем положительное значение, так как только положительные члены).
Теперь подставим ( q ) обратно в уравнение для ( b_2 ):
[ b_1 \cdot 2 = 0,04 ]
[ b_1 = \frac{0,04}{2} = 0,02 ]
Теперь у нас есть первый член и знаменатель. Найдем сумму первых 9 членов:
[ S_9 = \frac{b_1 \cdot (1 - q^9)}{1 - q} ]
[ S_9 = \frac{0,02 \cdot (1 - 2^9)}{1 - 2} ]
[ S_9 = \frac{0,02 \cdot (1 - 512)}{-1} ]
[ S_9 = \frac{0,02 \cdot (-511)}{-1} ]
[ S_9 = 0,02 \cdot 511 = 10,22 ]
Ответ: ( S_9 = 10,22 )
Задача 4:
Найдите первый член геометрической прогрессии (a₁), в которой q = 3, S₄ = 560.
Сумма первых n членов, как и раньше:
[ S_n = \frac{b_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q} ]
В нашем случае:
- ( S_4 = 560 )
- ( n = 4 )
- ( q = 3 )
Подставляем данные в формулу:
[ 560 = \frac{b_1 \cdot (1 - 3^4)}{1 - 3} ]
[ 560 = \frac{b_1 \cdot (1 - 81)}{-2} ]
[ 560 = \frac{b_1 \cdot (-80)}{-2} ]
[ 560 = 40b_1 ]
[ b_1 = \frac{560}{40} = 14 ]
Ответ: ( b_1 = 14 )
Если у вас есть ещё вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!
