Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bп), если b1 = –32 и q =1/2 2. Первый член геометрической прогрессии (bп) равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести…

Давайте по очереди разберем каждую из ваших задач по геометрической прогрессии.

Задача 1:

Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b₇), если b₁ = –32 и q = 1/2.

Геометрическая прогрессия описывается формулой для n-го члена: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

Где:

• \( b_n \) — n-й член прогрессии,
• \( b_1 \) — первый член прогрессии,
• \( q \) — знаменатель прогрессии (коэффициент умножения),
• \( n \) — номер члена прогрессии.

В нашем случае:

• \( b_1 = -32 \)
• \( q = \frac{1}{2} \)
• Мы ищем \( b_7 \).

Подставим значения в формулу:

\[ b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} \] \[ b_7 = -32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \]

Теперь вычислим \( \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{1}{64} \]

Теперь подставим это значение обратно:

\[ b_7 = -32 \cdot \frac{1}{64} \] \[ b_7 = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2} \]

Ответ: \( b_7 = -\frac{1}{2} \)

---

Задача 2:

Первый член геометрической прогрессии (b₁) равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:

\[ S_n = \frac{b_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q} \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых n членов,
• \( n \) — количество членов,
• \( b_1 \) — первый член,
• \( q \) — знаменатель.

В нашем случае:

• \( b_1 = 2 \)
• \( q = 3 \)
• \( n = 6 \)

Подставляем значения в формулу:

\[ S_6 = \frac{2 \cdot (1 - 3^6)}{1 - 3} \]

Вычислим \( 3^6 \): \[ 3^6 = 729 \]

Теперь подставляем это значение:

\[ S_6 = \frac{2 \cdot (1 - 729)}{1 - 3} \] \[ S_6 = \frac{2 \cdot (-728)}{-2} \] \[ S_6 = 728 \]

Ответ: \( S_6 = 728 \)

---

Задача 3:

Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (bₙ) с положительными членами, зная, что b₂ = 0,04 и b₄ = 0,16.

Разберёмся сначала с членами прогрессии. У нас есть:

• \( b_2 = b_1 \cdot q = 0,04 \)
• \( b_4 = b_1 \cdot q^3 = 0,16 \)

Чтобы найти \( q \), мы можем составить отношение: \[ \frac{b_4}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = q^2 \] \[ \frac{0,16}{0,04} = 4 = q^2 \]

Таким образом, \( q = 2 \) (выбираем положительное значение, так как только положительные члены).

Теперь подставим \( q \) обратно в уравнение для \( b_2 \): \[ b_1 \cdot 2 = 0,04 \] \[ b_1 = \frac{0,04}{2} = 0,02 \]

Теперь у нас есть первый член и знаменатель. Найдем сумму первых 9 членов: \[ S_9 = \frac{b_1 \cdot (1 - q^9)}{1 - q} \] \[ S_9 = \frac{0,02 \cdot (1 - 2^9)}{1 - 2} \] \[ S_9 = \frac{0,02 \cdot (1 - 512)}{-1} \] \[ S_9 = \frac{0,02 \cdot (-511)}{-1} \] \[ S_9 = 0,02 \cdot 511 = 10,22 \]

Ответ: \( S_9 = 10,22 \)

---

Задача 4:

Найдите первый член геометрической прогрессии (a₁), в которой q = 3, S₄ = 560.

Сумма первых n членов, как и раньше: \[ S_n = \frac{b_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q} \]

В нашем случае:

• \( S_4 = 560 \)
• \( n = 4 \)
• \( q = 3 \)

Подставляем данные в формулу:

\[ 560 = \frac{b_1 \cdot (1 - 3^4)}{1 - 3} \] \[ 560 = \frac{b_1 \cdot (1 - 81)}{-2} \] \[ 560 = \frac{b_1 \cdot (-80)}{-2} \] \[ 560 = 40b_1 \] \[ b_1 = \frac{560}{40} = 14 \]

Ответ: \( b_1 = 14 \)

---

Если у вас есть ещё вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!