известно, что tg a+ ctg a=3. найти tg² a+ ctg² a

Давайте решим задачу, в которой нужно найти \( \tan^2 a + \cot^2 a \), зная, что \( \tan a + \cot a = 3 \).

1. Обозначим переменные: Пусть \( \tan a = x \). Тогда \( \cot a = \frac{1}{x} \).

2. Перепишем данное уравнение: \[ \tan a + \cot a = 3 \quad \Rightarrow \quad x + \frac{1}{x} = 3. \]

3. Умножим обе стороны уравнения на \( x \) (при \( x \neq 0 \)) для устранения дроби: \[ x^2 + 1 = 3x. \]

4. Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 - 3x + 1 = 0. \]

5. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5. \]

6. Находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}. \]

7. Теперь найдем \( \tan^2 a + \cot^2 a \): Мы знаем, что: \[ \tan^2 a + \cot^2 a = x^2 + \frac{1}{x^2}. \]

8. Используем формулу для преобразования: \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7. \]

9. Таким образом, ответ: \[ \tan^2 a + \cot^2 a = 7. \]

Итак, ответ на задачу: \( \tan^2 a + \cot^2 a = 7 \).